ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)

Kolokwium poprawkowe wersja I 10 lutego 2005

1. Zamień kolejność całkowania w całce iterowanej ∫_{0}^{1} dx ∫_{−x}^{√ \overline{2−x^{2}}} f(x, y) dy.

2. Oblicz objętość bryły, którą z kuli x^{2} + y^{2} + z^{2} a^{2}, a > 0, wycina stożek x^{2} + y^{2} = z^{2}.

3. Narysuj krzywą C o parametryzacji

C(t) = \{ \begin{matrix}(cost, − sint), & t ∈ [−π, 0], \\ (1 − t, 0), & t ∈ [0, 2]. \end{matrix}

Następnie oblicz całkę krzywoliniową zorientowaną ∫_{C} x^{2} dx + xy dy na dwa sposoby: z definicji oraz z twierdzenia Greena.

4. Σ jest brzegiem obszaru x^{2} + y^{2} + z^{2} 4, x 0, zewnętrzna strona powierzchni Σ jest dodatnia. Oblicz całkę powierzchniową zorientowaną

∫∫_{Σ} 2xy dy dz − y^{2} dz dx + 2z dx dy,

na dwa sposoby: z definicji oraz z twierdzenia Gaussa–Ostrogradzkiego.

Punktacja: zadanie 1: 15 punktów, zadanie 2: 25 punktów, zadania 3,4: po 30 punktów. Na ocenę dst wystarczy 39 punktów, a na dst+ – 70 punktów. Uwaga: można poprosić o wskazówkę, przypomnienie wzoru, itp., jednak w takim przypadku

nie otrzyma się maksymalnej oceny za odpowiednie zadanie (np. na pewno nie dostanie się punktów za podpowiedzianą część rozwiązania).

Kolokwium poprawkowe wersja II – część II 10 lutego 2005

1. Zamień kolejność całkowania w całce iterowanej ∫_{0}^{1} dx ∫_{−x}^{√ \overline{2−x^{2}}} f(x, y) dy.

2. Oblicz objętość bryły, którą z kuli x^{2} + y^{2} + z^{2} a^{2}, a > 0, wycina stożek x^{2} + y^{2} = z^{2}.

3. Narysuj krzywą C o parametryzacji

C(t) = \{ \begin{matrix}(cost, − sint), & t ∈ [−π, 0], \\ (1 − t, 0), & t ∈ [0, 2]. \end{matrix}

Następnie oblicz całkę krzywoliniową zorientowaną ∫_{C} x^{2} dx + xy dy na dwa sposoby: z definicji oraz z twierdzenia Greena.

4. Σ jest brzegiem obszaru x^{2} + y^{2} + z^{2} 4, x 0, zewnętrzna strona powierzchni Σ jest dodatnia. Oblicz całkę powierzchniową zorientowaną

∫∫_{Σ} 2xy dy dz − y^{2} dz dx + 2z dx dy,

na dwa sposoby: z definicji oraz z twierdzenia Gaussa–Ostrogradzkiego.

Punktacja: zadanie 1: 15 punktów, zadanie 2: 25 punktów, zadania 3,4: po 30 punktów. Na ocenę dst wystarczy zdobyć co najmniej 35 punktów z każdej części kolokwium oraz co

najmniej 100 punktów łącznie.

Uwaga: można poprosić o wskazówkę, przypomnienie wzoru, itp., jednak w takim przypadku nie otrzyma się maksymalnej oceny za odpowiednie zadanie (np. na pewno nie dostanie się punktów za podpowiedzianą część rozwiązania).

Kolokwium poprawkowe wersja II – część I 10 lutego 2005

1. Rozstrzygnij, czy istnieje granica

lim_{(x,y)→(1,0)} \frac{x + 2y − 1}{2x − y − 2}

i jeśli tak, to ją oblicz.

2. Załóżmy, że f : ℝ^{2} → ℝ jest klasy C^{1}; niech v = (2, −3) i g(x, y) = f(x + y^{2}, y − x). Wyraź D_{v}g (pochodną kierunkową funkcji g wzdłuż wektora v) poprzez pochodne cząstkowe funkcji f.

3. Co wystarczy założyć o funkcji F : ℝ^{3} → ℝ, aby równanie F (x, y, z) = 0 definiowało funkcje x = x(y, z), y = y(z, x) oraz z = z(x, y) w otoczeniu każdego punktu (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ∈ ℝ^{3}? Oblicz, przy odpowiednich założeniach, wartość iloczynu

\frac{∂x}{∂y} · \frac{∂y}{∂z} · \frac{∂z}{∂x} .

(\frac{∂x}{∂y} oznacza tu pochodną funkcji x = x(y, z) po zmiennej y, itd.).

4. Dla f, g : ℝ^{3} → ℝ klasy C^{2} uzasadnij wzór

div(f · ∇g) = ⟨∇f, ∇g⟩ + fΔg.

5. Napisz wzór Taylora funkcji f(x, y, z) = e^{x^{2}+y} cosz w otoczeniu punktu (1, −1, \frac{π}{2}) z resztą R_{2}. Napisz też postać tej reszty, ale już bez obliczania odpowiednich pochodnych. Przypomnienie: w reszcie R_{2} występują pochodne \underline{trzeciego} rzędu.

6. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = e^{−x} (x^{2} − 3x + 1 − y^{2}).

Punktacja: za każde z powyższych zadań jest \frac{100}{6} punktów. Na ocenę dst wystarczy zdobyć co najmniej 35 punktów z każdej części kolokwium oraz co

najmniej 100 punktów łącznie.

Uwaga: można poprosić o wskazówkę, przypomnienie wzoru, itp., jednak w takim przypadku nie otrzyma się maksymalnej oceny za odpowiednie zadanie (np. na pewno nie dostanie się punktów za podpowiedzianą część rozwiązania).