\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}

\topmargin    -28mm
\textheight    247.0mm
\textwidth     175mm
\oddsidemargin -10mm
\arraycolsep   2.0pt

%\addtolength{\textwidth}{+20mm}
%\addtolength{\hoffset}{-10mm}
%\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
%\addtolength{\voffset}{-25mm}
%\addtolength{\textheight}{+40mm}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}

%\newcommand{\lin}{{\textrm{lin}}}
%\newcommand{\lins}{{\textrm{lin}\,}}

\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
\DeclareMathOperator{\dyw}{div}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium poprawkowe wersja I}

10 lutego 2005

\end{center}
\begin{enumerate}
\item
Zamie\'n kolejno\'s\'c ca{\l}kowania w~ca{\l}ce
iterowanej $\int_0^1 dx \int_{-x}^{\sqrt{2-x^2}} f(x,y)\,dy$.

\item
Oblicz obj\k{e}to\'s\'c bry{\l}y, kt\'or\k{a} z kuli
$x^2+y^2+z^2\leq a^2$, $a>0$, wycina
 sto\.zek $x^2+y^2=z^2$.

\item
Narysuj krzyw\k{a} $C$ o~parametryzacji
$$
C(t)=\left\{
\begin{array}{ll}
(\cos t, -\sin t),&\quad t\in [-\pi,0],\\
(1-t,0),&\quad t\in [0,2].
\end{array}
\right.
$$
Nast\k{e}pnie oblicz ca{\l}k\k{e} krzywoliniow\k{a} zorientowan\k{a}
$\int_C x^2 \,dx + xy\,dy$ na dwa sposoby:
z~definicji oraz  z~twierdzenia Greena.

\item
$\Sigma$ jest brzegiem obszaru $x^2+y^2+z^2\leq 4$, $x\geq 0$,
zewn\k{e}trzna strona powierzchni $\Sigma$ jest dodatnia.
Oblicz ca{\l}k\k{e} powierzchniow\k{a} zorientowan\k{a}
$$
\iint_\Sigma 2xy\,dy\,dz - y^2\,dz\,dx + 2z\,dx\,dy,
$$
na dwa sposoby: z~definicji oraz z~twierdzenia Gaussa--Ostrogradzkiego.
\end{enumerate}

Punktacja:  zadanie 1:  15~punkt\'ow,
zadanie 2: 25 punkt\'ow,
zadania 3,4: po 30 punkt\'ow.

Na ocen\k{e} dst wystarczy 39 punkt\'ow,
a na dst+ -- 70 punkt\'ow.

Uwaga: mo\.zna poprosi\'c o wskaz\'owk\k{e}, przypomnienie wzoru,
itp., jednak w~takim przypadku nie otrzyma si\k{e} maksymalnej
oceny za odpowiednie zadanie (np. na pewno nie dostanie si\k{e} punkt\'ow
za podpowiedzian\k{a} cz\k{e}\'s\'c rozwi\k{a}zania).


\newpage
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium poprawkowe wersja II -- cz\k{e}\'s\'c II}

10 lutego 2005

\end{center}
\begin{enumerate}
\item
Zamie\'n kolejno\'s\'c ca{\l}kowania w~ca{\l}ce
iterowanej $\int_0^1 dx \int_{-x}^{\sqrt{2-x^2}} f(x,y)\,dy$.

\item
Oblicz obj\k{e}to\'s\'c bry{\l}y, kt\'or\k{a} z kuli
$x^2+y^2+z^2\leq a^2$, $a>0$, wycina
 sto\.zek $x^2+y^2=z^2$.

\item
Narysuj krzyw\k{a} $C$ o~parametryzacji
$$
C(t)=\left\{
\begin{array}{ll}
(\cos t, -\sin t),&\quad t\in [-\pi,0],\\
(1-t,0),&\quad t\in [0,2].
\end{array}
\right.
$$
Nast\k{e}pnie oblicz ca{\l}k\k{e} krzywoliniow\k{a} zorientowan\k{a}
$\int_C x^2 \,dx + xy\,dy$ na dwa sposoby:
z~definicji oraz  z~twierdzenia Greena.

\item
$\Sigma$ jest brzegiem obszaru $x^2+y^2+z^2\leq 4$, $x\geq 0$,
zewn\k{e}trzna strona powierzchni $\Sigma$ jest dodatnia.
Oblicz ca{\l}k\k{e} powierzchniow\k{a} zorientowan\k{a}
$$
\iint_\Sigma 2xy\,dy\,dz - y^2\,dz\,dx + 2z\,dx\,dy,
$$
na dwa sposoby: z~definicji oraz z~twierdzenia Gaussa--Ostrogradzkiego.
\end{enumerate}

Punktacja:  zadanie 1:  15~punkt\'ow,
zadanie 2: 25 punkt\'ow,
zadania 3,4: po 30 punkt\'ow.

Na ocen\k{e} dst wystarczy zdoby\'c co najmniej 35 punkt\'ow
z~ka\.zdej cz\k{e}\'sci kolokwium oraz co najmniej 100 punkt\'ow
{\l}\k{a}cznie.

Uwaga: mo\.zna poprosi\'c o wskaz\'owk\k{e}, przypomnienie wzoru,
itp., jednak w~takim przypadku nie otrzyma si\k{e} maksymalnej
oceny za odpowiednie zadanie (np. na pewno nie dostanie si\k{e} punkt\'ow
za podpowiedzian\k{a} cz\k{e}\'s\'c rozwi\k{a}zania).

\newpage
\begin{center}
{\sc
ANALIZA MATEMATYCZNA 3, WPPT (MATEMATYKA)
}

\bigskip

{\bf Kolokwium poprawkowe wersja II -- cz\k{e}\'s\'c I}

10 lutego 2005

\end{center}
\begin{enumerate}
\item
Rozstrzygnij, czy istnieje granica
$$
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{x+2y-1}{2x-y-2}
$$
i je\'sli tak, to j\k{a} oblicz.

\item
%Za{\l}\'o\.zmy, \.ze $f:\R^2\to\R$ jest klasy $C^2$;
%niech $v=(2,-3)$. Wyra\'z $D_v (D_v f)$ (drug\k{a}
%pochodn\k{a} kierunkow\k{a} funkcji $f$ wzd{\l}u\.z wektora $v$)
%poprzez pochodne cz\k{a}stkowe funkcji $f$.
Za{\l}\'o\.zmy, \.ze $f:\R^2\to\R$ jest klasy $C^1$;
niech $v=(2,-3)$ i $g(x,y)=f(x+y^2,y-x)$. Wyra\'z $D_v g$ 
(pochodn\k{a} kierunkow\k{a} funkcji $g$ wzd{\l}u\.z wektora $v$)
poprzez pochodne cz\k{a}stkowe funkcji~$f$.

\item
Co wystarczy za{\l}o\.zy\'c o funkcji $F:\R^3\to\R$,
aby r\'ownanie $F(x,y,z)=0$ definiowa{\l}o funkcje
$x=x(y,z)$, $y=y(z,x)$ oraz $z=z(x,y)$ w~otoczeniu
ka\.zdego punktu $(x_0,y_0,z_0)\in\R^3$?
Oblicz, przy odpowiednich za{\l}o\.zeniach, warto\'s\'c
iloczynu
$$
 \frac{\partial x}{\partial y} \cdot
 \frac{\partial y}{\partial z} \cdot
 \frac{\partial z}{\partial x}\;.
$$
($\frac{\partial x}{\partial y}$ oznacza tu pochodn\k{a}
funkcji $x=x(y,z)$ po zmiennej $y$, itd.).

\item
Dla $f,g:\R^3\to\R$ klasy $C^2$ uzasadnij wz\'or
$$
 \dyw(f\cdot \nabla g)=\langle \nabla f,\nabla g\rangle +
 f\Delta g.
$$

\item
Napisz wz\'or Taylora funkcji $f(x,y,z)=e^{x^2+y}\cos z$
w~otoczeniu punktu $(1,-1,\frac{\pi}{2})$
z~reszt\k{a} $R_2$.
Napisz te\.z posta\'c tej reszty, ale ju\.z bez
obliczania odpowiednich pochodnych.
Przypomnienie: w~reszcie $R_2$ wyst\k{e}puj\k{a}
pochodne \underline{trzeciego} rz\k{e}du.

\item
Znajd\'z ekstrema lokalne funkcji $f(x,y)=e^{-x}(x^2-3x+1-y^2)$.
\end{enumerate}

Punktacja: za ka\.zde z~powy\.zszych zada\'n jest
 $\frac{100}{6}$~punkt\'ow.

Na ocen\k{e} dst wystarczy zdoby\'c co najmniej 35 punkt\'ow
z~ka\.zdej cz\k{e}\'sci kolokwium oraz co najmniej 100 punkt\'ow
{\l}\k{a}cznie.

Uwaga: mo\.zna poprosi\'c o wskaz\'owk\k{e}, przypomnienie wzoru,
itp., jednak w~takim przypadku nie otrzyma si\k{e} maksymalnej
oceny za odpowiednie zadanie (np. na pewno nie dostanie si\k{e} punkt\'ow
za podpowiedzian\k{a} cz\k{e}\'s\'c rozwi\k{a}zania).

\end{document}





