Analiza Matematyczna D3 I kolokwium

1. Niech

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x siny + y sinx}{x^{2} + y^{2}} , & x^{2} + y^{2} ≠ 0; \\ 1, & x^{2} + y^{2} = 0. \end{matrix}

(a) Zbadać ciągłość funkcji f.

(b) Znaleźć wszystkie wektory a ∈ ℝ^{2} wzdłuż których istnieje pochodna kierunkowa D_{a}f(0, 0).

2. Niech f(x) = ∥x∥, x ∈ ℝ^{2}. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji f (w punktach, w których istnieją), gdy ∥·∥ oznacza normę (a) euklidesową, (b) taksówkową, (c) maksimum.

Znaleźć wszystkie punkty, w których funkcja z zadania 2(c) jest różniczkowalna.

3. Znaleźć równanie normalnej w punkcie (1, 1) do krzywej danej równaniem uwi-

kłanym

ye^{x} − xe^{y} + y − x^{2} = 0.

4. Znaleźć macierz Jacobiego odwzorowania

f(x, y, z) = (x^{2} arctg(y^{2}), xyz, x + y + 3z)

w punkcie (2, 1, 0). Czy w pewnym otoczeniu tego punktu funkcja f jest odwracalna?

5. Funkcja h : ℝ^{2} \ {(0, 0)} → ℝ spełnia równanie Laplace’a, tzn. Δh(x) = 0 dla wszystkich x z dziedziny funkcji h. Sprawdzić, że funkcja

f(x) = h( \frac{x}{∥x∥^{2}} ) , x ∈ ℝ^{2} \ \{(0, 0)\},

gdzie ∥·∥ oznacza normę euklidesową na ℝ^{2}, również spełnia równanie Laplace’a.