Analiza Matematyczna D3 II kolokwium

1. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = xy + \frac{x^{2}}{2} − y^{3}.

2. Obliczyć ∫∫_{D} xy dx dy, gdzie D = {(x, y) : x 0, 1 x^{2} + y^{2} 2}.

3. Rozstrzygnąć, czy całka krzywoliniowa

∫_{Γ} \frac{y}{x^{2}} dx − \frac{1}{x} dy

wzdłuż łuku Γ o początku w (1, 2) i końcu w (2, 1), nie przechodzącym przez oś Oy, zależy od kształtu krzywej całkowania. Następnie obliczyć powyższą całkę, jeśli krzywa Γ jest krótszym z łuków okręgu x^{2} + y^{2} = 5 łączących (1, 2) z (2, 1).

4. Obliczyć całkę

∮_{Γ}(x + y^{2}) dx + (x^{2} + y^{2}) dy,

gdzie Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (3, 2), B = (2, 5), C = (1, 1), zorientowanym ujemnie.

5. W całce iterowanej

∫_{−2}^{2} dy ∫_{0}^{√ \overline{4−y^{2}}} dx ∫_{x^{2}+y^{2}}^{4} f(x, y, z) dz

zmienić (na dwa sposoby) kolejność całkowania, aby otrzymać dwie inne całki iterowane. Naszkicować obszar całkowania.

6. * (Zadanie dodatkowe). Niech f : [0, ∞) → ℝ będzie funkcją ciągłą. Udowodnić wzór

∫ …∫_{D_{n} (R)} f(x_{1} + … + x_{n}) dx_{1} …dx_{n} = \frac{1}{(n − 1)!} ∫_{0}^{R} f(t)t^{n−1} dt, R > 0,

gdzie D_{n}(R) jest zbiorem punktów (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} spełniających x_{1}+…+x_{n} R oraz x_{k} 0 dla k = 1, …, n. Przypomnienie z ćwiczeń: wzór zachodzi dla f ≡ 1. (Uwaga: zadanie można rozwiązać na różne sposoby, niektóre są nieuciążliwe rachunkowo…).