\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[OT4,plmath]{polski}
\usepackage{amsfonts, amsopn,amsmath}

\oddsidemargin 2.50mm
\arraycolsep   2.0pt
\pagestyle{empty}

\addtolength{\textwidth}{+30mm}
\addtolength{\hoffset}{-10mm}
\addtolength{\marginparwidth}{-30pt}
\addtolength{\voffset}{-25mm}
\addtolength{\textheight}{+50mm}

\newcommand{\Riem}{{\mathcal{R}}}

\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}

\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
\DeclareMathOperator{\dyw}{div}
\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}
%\DeclareMathOperator{\conv}{conv}


\begin{document}
\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\large\bf Analiza Matematyczna D3\\
II kolokwium\\
%\normalsize Grupa A
\end{center}
\vspace{20pt}

\begin{enumerate}
\item
Znale\'z\'c wszystkie ekstrema lokalne funkcji
$f(x,y)=xy+\frac{x^2}{2}-y^3$.

\item
Obliczy\'c $\iint_D xy\,dx\,dy$, gdzie
$D=\{ (x,y): x\geq 0,\, 1\leq x^2+y^2 \leq 2 \}$.

\item
Rozstrzygn\k{a}\'c, czy ca{\l}ka krzywoliniowa
$$
\int_{\Gamma} \frac{y}{x^2}\, dx - \frac{1}{x}\, dy
$$
wzd{\l}u\.z {\l}uku $\Gamma$ o pocz\k{a}tku w $(1,2)$ i ko\'ncu w $(2,1)$,
nie przechodz\k{a}cym przez o\'s $Oy$, zale\.zy od kszta{\l}tu krzywej ca{\l}kowania.
Nast\k{e}pnie obliczy\'c powy\.zsz\k{a} ca{\l}k\k{e},
je\'sli krzywa $\Gamma$ jest kr\'otszym z~{\l}uk\'ow
okr\k{e}gu $x^2+y^2=5$ {\l}\k{a}cz\k{a}cych $(1,2)$ z~$(2,1)$.



\item
Obliczy\'c ca{\l}k\k{e}
$$
\oint_{\Gamma} (x+y^2)\, dx + (x^2+y^2)\, dy,
$$
gdzie $\Gamma$ jest brzegiem tr\'ojk\k{a}ta o wierzcho{\l}kach $A=(3,2)$,
$B=(2,5)$, $C=(1,1)$,
zorientowanym ujemnie.

\item
W ca{\l}ce iterowanej
$$
\int_{-2}^2 dy \int_0^{\sqrt{4-y^2}} dx \int_{x^2+y^2}^4 f(x,y,z) \, dz
$$
zmieni\'c (na dwa sposoby) kolejno\'s\'c ca{\l}kowania, aby
otrzyma\'c dwie inne ca{\l}ki iterowane.
%zmieni\'c kolejno\'s\'c ca{\l}kowania. Rozwa\.zy\'c wszystkie mo\.zliwo\'sci.
Naszkicowa\'c obszar ca{\l}kowania.

%\item
%Znale\'z\'c najmniejsz\k{a} i najwi\k{e}ksz\k{a} warto\'s\'c funkcji
%$$
%f(x,y,z) = xy + yz + zx
%$$
%na sferze $x^2+y^2+z^2=1$.

\item* (Zadanie dodatkowe).
Niech $f:[0,\infty)\to \R$ b\k{e}dzie funkcj\k{a} ci\k{a}g{\l}\k{a}.
Udowodni\'c wz\'or
$$
 \int\ldots\int_{D_n(R)} f(x_1+\ldots+x_n)\,dx_1\ldots dx_n =
 \frac{1}{(n-1)!}\int_0^R f(t)t^{n-1}\,dt, \quad R>0,
$$
gdzie $D_n(R)$ jest zbiorem punkt\'ow $(x_1,\ldots,x_n)\in \R^n$
spe{\l}niaj\k{a}cych $x_1+\ldots+x_n\leq R$ oraz $x_k\geq 0$ dla $k=1,\ldots,n$.
Przypomnienie z~\'cwicze\'n: wz\'or zachodzi dla $f\equiv 1$.
(Uwaga: zadanie mo\.zna rozwi\k{a}za\'c na r\'o\.zne sposoby,
niekt\'ore s\k{a} nieuci\k{a}\.zliwe rachunkowo\ldots).


\end{enumerate}
\end{document}


