\documentclass[a4paper,reqno]{amsart}
%\usepackage{t1enc}
\usepackage[margin=1in]{geometry}
\usepackage{ifthen}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\C}{\mathbf{C}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\pr}{\mathbf{P}}
\newcommand{\ex}{\mathbf{E}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ind}{\mathbf{1}}

\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\res}{Res}
\DeclareMathOperator{\dom}{dom}
\addtolength{\voffset}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{+30mm}


\sloppy
\numberwithin{equation}{section}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\Large{ANALIZA MATEMATYCZNA M3 -- KOLOKWIUM}}\\
\normalsize
\end{center}
\thispagestyle{empty}
\bigskip


{\large{

\begin{enumerate}
\item[1.]
  Sprawdź, czy pole wektorowe
  \[
  F(x,y)=\left(\frac{x^2+y^2-y}{x^2+y^2},\ \frac{x^2+y^2+x}{x^2+y^2}\right)
  \]
  jest potencjalne na obszarze % \textrm{(a)} $D=(0,\infty)\times \R$.
  \textrm{(a)} $D_1=\R^2\setminus\{0\}$;
  \quad \textrm{(b)} $D=(0,\infty)\times \R$. %$D_2=\R^2\setminus ((-\infty,0]\times\{0\})$.

  \noindent
  Jeśli tak, to znajdź jego potencjał.
  \vspace{3mm}
  
\item[2.]
  Krzywa kawałkami regularna łączy punkty $A=(2,1,1)$ i $B=(1,1,2)$. Oblicz całkę
  \[
  \int_\gamma 2xy^3z^4\,dx + 3y^2(x^2z^4+z)\,dy + (y^3+4x^2y^3z^3)\,dz.
  \]
%  \vspace{3mm}
  
\item[3.]
  Oblicz całkę
  \[
  \iint_S 0\,dy\,dz + 0\,dz\,dy + z^2 \,dx\,dy
  \]
  po powierzchni $S_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\ z\geq 0$, przyjmując, że jej górna strona jest dodatnia,
  \begin{itemize}
  \item[(a)] bezpośrednio,
  \item[(b)] z twierdzenia Gaussa--Ostrogradzkiego, dodając do szukanej całki całkę z~tego samego pola, ale po (odpowiednio zorientowanej) elipsie $S_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1,\ z=0$.
  \end{itemize}
  \vspace{3mm}
  
\item[4.]
  Wyznacz całkę krzywoliniową zorientowaną
  \[
  \oint_\gamma y\,dx + z\,dy+ x\,dz,
  \]
  gdzie $\gamma(t)=(1,0,1)+\cos t \cdot (1,0,-1) + \sin t \cdot (0,\sqrt{2},0)$, $0\leq t\leq 2\pi$, jest okręgiem, \textrm{(a)} wykonując bezpośredni rachunek, \textrm{(b)} korzystając z~twierdzenia Stokesa.
\end{enumerate}
}}


\end{document}
