Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Jeżeli

a_{n} \geq 0 ​

dla każdego

n \in N ​

, to ciąg

(S_{n}) ​

sum częściowych szeregu

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ​

jest niemalejący. Rzeczywiście, dla każdego

n \in N ​

możemy napisać:

(ostatnia nierówność wynika z faktu, że

a_{n} \geq 0 ​

dla każdego

n \in N ​

Przypomnijmy, że każdy ciąg liczbowy niemalejący albo jest rozbieżny do

+ \infty, ​

albo ma granicę właściwą. Fakt ten w zastosowaniu do ciągu

(S_{n}) ​

implikuje, że szereg o wyrazach nieujemnych albo jest zbieżny, albo rozbieżny do

+ \infty . ​

Na podstawie powyższych rozważań możemy przyjąć konwencję, że jeżeli szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ​

o wyrazach nieujemnych jest zbieżny, to piszemy krótko

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} < \infty ​

, natomiast gdy jest rozbieżny, to piszemy

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \infty . ​

W dalszym ciągu poznamy kilka twierdzeń, znanych pod wspólną nazwą kryteriów zbieżności szeregu liczbowego. Niektóre z tych kryteriów stosują się do szeregów o wyrazach nieujemnych, inne do dowolnych szeregów.

Zaczniemy od podania bez dowodu następującego faktu, który odgrywa ważną rolę przy badaniu zbieżności szeregów liczbowych.

Kryterium porównawcze

Twierdzenie 1

Załóżmy, że dla każdego $n \in N $ zachodzą nierówności:

$0 \leq a_{n} \leq b_{n} $

Wówczas zachodzą następujące implikacje:

jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} $ jest zbieżny, to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} $ jest zbieżny;

jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} $ jest rozbieżny, to szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} $ jest rozbieżny.

Innymi słowy, jeśli dane są dwa szeregi, których wyrazy spełniają układ nierówności podany w twierdzeniu powyżej, to ze zbieżności szeregu o większych wyrazach wynika zbieżność szeregu o mniejszych wyrazach, a z rozbieżności szeregu o mniejszych wyrazach wynika rozbieżność szeregu o większych wyrazach. Czasami zapisujemy obie implikacje w następujący sposób:

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} < \infty ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} < \infty ​

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \infty ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = \infty ​

Zadanie 1

Zbadaj zbieżność szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} + 1}{2 n^{3} + 1} . $

Szereg jest rozbieżny.

Dla każdego $n \geq 1 $ możemy napisać:

$\frac{n^{2} + 1}{2 n^{3} + 1} \geq \frac{n^{2}}{2 n^{3} + 1} \geq \frac{n^{2}}{2 n^{3} + n^{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n} $

Ponieważ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} $ jest rozbieżny, więc szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n} $ jest rozbieżny.

Stąd i z kryterium porównawczego wynika, że badany szereg jest rozbieżny.

Zadanie 2

Zastosuj kryterium porównawcze do zbadania zbieżności szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n} + 1}{3^{n} - 1} . $

Szereg jest zbieżny.

Dla każdego $n \in N $ mamy:

$\frac{2^{n} + 1}{3^{n} - 1} \leq \frac{2^{n} + 2^{n}}{3^{n} - 1} \leq \frac{2^{n} + 2^{n}}{3^{n}} = \frac{2 \cdot 2^{n}}{3^{n}} = 2 \cdot {(\frac{2}{3})}^{n} $

Ponieważ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n} $ jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie większym od $- 1 $ i mniejszym od $1, $ więc na mocy kryterium porównawczego również badany szereg jest zbieżny.

Kryterium ilorazowe

Twierdzenie 2

Załóżmy, że od pewnego miejsca począwszy wyrazy ciągów $(a_{n}) $ i $(b_{n}) $ są dodatnie oraz istnieje granica

$k = lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} $

która jest właściwa i dodatnia, $0 < k < \infty . $

Wówczas szeregi $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} $ i $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} $ albo są oba zbieżne, albo oba rozbieżne.

Ta sama teza jest prawdziwa, gdy założymy, że wyrazy ciągów $(a_{n}) $ i $(b_{n}) $ są od pewnego miejsca począwszy ujemne.

Kryterium ilorazowe stosujemy w praktyce w taki sposób, że mając dany szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}, ​

szukamy szeregu

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}, ​

o którym wiemy, że jest zbieżny bądź rozbieżny i podejrzewamy, że granica

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} ​

jest dodatnia i skończona. Najłatwiej stosować takie podejście w przypadku szeregów, których wyraz ogólny jest funkcją wymierną zmiennej

n, ​

ponieważ wtedy możemy za szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} ​

przyjąć

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} ​

dla odpowiednio dobranego

p > 0 ​

Przykład 1

Korzystając z kryterium ilorazowego, zbadamy zbieżność szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 n^{3} + n - 2}{2 n^{5} - n + 4} . $

Ogólny wyraz $a_{n} = \frac{3 n^{3} + n - 2}{2 n^{5} - n + 4} $ badanego szeregu to funkcja wymierna zmiennej $n, $ przy czym stopień mianownika jest o $2 $ większy od stopnia licznika.

Przyjmując teraz $b_{n} = \frac{1}{n^{2}}, $ widzimy, że

$\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\frac{3 n^{3} + n - 2}{2 n^{5} - n + 4}}{\frac{1}{n^{2}}} = \frac{3 n^{3} + n - 2}{2 n^{5} - n + 4} \cdot n^{2} = \frac{3 n^{5} + n^{3} - 2 n^{2}}{2 n^{5} - n + 4} $

Mamy więć $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{3 n^{5} + n^{3} - 2 n^{2}}{2 n^{5} - n + 4} = $

$lim_{n \to \infty} \frac{n^{5} (3 + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{n^{3}})}{n^{5} (2 - \frac{1}{n^{4}} + \frac{4}{n^{5}})} = $

$lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{n^{3}}}{2 - \frac{1}{n^{4}} + \frac{4}{n^{5}}} = \frac{3}{2} $

Granica $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} $ okazała się skończona i dodatnia. Szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} $ jest zbieżny.

Stąd i z kryterium ilorazowego wnosimy, że badany szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3 n^{3} + n - 2}{2 n^{5} - n + 4} $ też jest zbieżny.

Zadanie 3

Korzystając z kryterium ilorazowego, zbadaj zbieżność szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{\sqrt{2 n^{4} + 1}} . $

Szereg jest rozbieżny.

Przyjmij $b_{n} = \frac{1}{n} . $

Przyjmijmy $a_{n} = \frac{n + 1}{\sqrt{2 n^{4} + 1}} . $ Wyrażenie to nie jest funkcją wymierną zmiennej $n $ , jednak można nieformalnie powiedzieć, że "najwyższa potęga mianownika to $2 $ ", ponieważ wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym jest wielomianem stopnia $4 $ , a pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku $\frac{1}{2} $ . Oczywiście takie podejście jest bardziej strategią mającą na celu postawienie hipotezy na temat zbieżności, a nie formalnym rozumowaniem. Spróbujmy jednak pójść dalej tym intuicyjnym tropem. Skoro – intuicyjnie – najwyższa potęga mianownika to $2 $ , a licznik jest wielomianem stopnia $1 $ , więc różnica takiego intuicyjnego "stopnia" mianownika i stopnia licznika jest równa $1 $ .

Przyjmijmy więc $b_{n} = \frac{1}{n} $ i zbadajmy granicę $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} . $ Mamy:

$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{\sqrt{2 n^{4} + 1}}}{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + n}{\sqrt{2 n^{4} + 1}} = $

$lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + n}{\sqrt{n^{4} (2 + \frac{1}{n^{4}})}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} (1 + \frac{1}{n})}{n^{2} \sqrt{2 + \frac{1}{n^{4}}}} = $

$lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{\sqrt{2 + \frac{1}{n^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Otrzymana granica jest właściwa i jest liczbą dodatnią.

Szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} $ jest rozbieżny.

Zatem badany szereg też jest rozbieżny.

Zadanie 4

Zastosuj kryterium ilorazowe do zbadania zbieżności szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3^{n} + 4^{n}}{2^{n} + 5^{n}} . $

Szereg jest zbieżny.

Przyjmij $b_{n} = {(\frac{4}{5})}^{n} . $

Przyjmijmy $a_{n} = \frac{3^{n} + 4^{n}}{2^{n} + 5^{n}} $ oraz $b_{n} = {(\frac{4}{5})}^{n} . $ Mamy wówczas:

$\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\frac{3^{n} + 4^{n}}{2^{n} + 5^{n}}}{{(\frac{4}{5})}^{n}} = \frac{\frac{4^{n} (\frac{3^{n}}{4^{n}} + 1)}{5^{n} (\frac{2^{n}}{5^{n}} + 1)}}{{(\frac{4}{5})}^{n}} = $

$\frac{\frac{3^{n}}{4^{n}} + 1}{\frac{2^{n}}{5^{n}} + 1} = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n} + 1}{{(\frac{2}{5})}^{n} + 1} $

Zatem $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{{(\frac{3}{4})}^{n} + 1}{{(\frac{2}{5})}^{n} + 1} = 1. $

Otrzymana granica jest właściwa i jest liczbą dodatnią.

Szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{4}{5})}^{n} $ jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie co do modułu mniejszym od $1 $ .

Zatem badany szereg też jest zbieżny.

Kryterium d'Alemberta

Zauważmy, że w powyższym twierdzeniu nie ma mowy o przypadku

q = 1 ​

. W takim przypadku kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ​

jest zbieżny, czy nie.

Zadanie 5

Przekonaj się, że $lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = 1 $ zarówno w przypadku zbieżnego szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} $ , jak w przypadku rozbieżnego szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} $ .

W pierwszym przypadku mamy:

$lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}}{\frac{1}{n^{2}}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{{(n + 1)}^{2}} = 1. $

W drugim przypadku mamy:

$lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n + 1}}{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1. $

Zadanie 6

Zastosuj kryterium d'Alemberta do zbadania zbieżności szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!} . $

Szereg jest rozbieżny.

Wyraz ogólny badanego szeregu to $a_{n} = \frac{n^{n}}{n!} . $ Mamy więc:

$| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = \frac{\frac{{(n + 1)}^{n + 1}}{(n + 1)!}}{\frac{n^{n}}{n!}} = \frac{{(n + 1)}^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{n^{n}} = $

$\frac{{(n + 1)}^{n} (n + 1) \cdot n!}{(n + 1) \cdot n! \cdot n^{n}} = $

$\frac{{(n + 1)}^{n}}{n^{n}} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} $

zatem

$lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e . $

Ponieważ otrzymana granica jest liczbą większą od jeden, więc z kryterium d'Alemberta wnioskujemy, że badany szereg jest rozbieżny.

Kryterium Cauchy'ego

Podobnie, jak kryterium d'Alemberta, również kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga zbieżności szeregu, gdy

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = 1 ​

Zadanie 7

Przekonaj się, $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = 1 $ zarówno w przypadku zbieżnego szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} $ , jak w przypadku rozbieżnego szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} $ .

W pierwszym przypadku mamy:

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n^{2}}} = $

$\frac{1}{lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{2}}} = \frac{1}{lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{n})} = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1. $

W drugim przypadku mamy:

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = \frac{1}{1} = 1. $

Zadanie 8

Zastosuj kryterium Cauchy'ego do zbadania zbieżności szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n} \cdot n^{n^{2}}}{{(n + 1)}^{n^{2}}} . $

Szereg jest zbieżny.

Wyraz ogólny badanego szeregu to $a_{n} = \frac{2^{n} \cdot n^{n^{2}}}{{(n + 1)}^{n^{2}}} . $ Mamy więc:

$\sqrt[n]{| a_{n} |} = \sqrt[n]{\frac{2^{n} \cdot n^{n^{2}}}{{(n + 1)}^{n^{2}}}} = 2 \sqrt[n]{\frac{n^{n^{2}}}{{(n + 1)}^{n^{2}}}} = $

$2 \cdot \frac{n^{n}}{{(n + 1)}^{n}} = 2 {(\frac{n}{n + 1})}^{n} = $

$\frac{2}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}} $

zatem $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = lim_{n \to \infty} \frac{2}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}} = \frac{2}{e} . $

Otrzymana granica jest liczbą mniejszą od $1. $ Stąd i z kryterium Cauchy'ego wnioskujemy, że badany szereg jest zbieżny.

Szereg naprzemienny

Twierdzenie 5

[Twierdzenie Leibniza o szeregu naprzemiennym]. Załóżmy, że $(a_{n}) $ jest ciągiem, spełniającym dla wszystkich $n $ począwszy od pewnego $n_{0} \in N $ następujące warunki:

$a_{n} > 0 $
$a_{n + 1} \leq a_{n} $ (a więc ciąg jest nierosnący)
$lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 $

Wówczas szereg naprzemienny:

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} a_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + \dots $

jest zbieżny. Jeżeli $S_{n} $ i $S $ oznaczają odpowiednio sumę częściową i sumę tego szeregu, to dla każdego $n \geq n_{0} $ zachodzi nierówność:

$| S - S_{n} | \leq a_{n + 1} $

Zadanie 9

Oszacuj sumę $S $ szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} $ z dokładnością $\frac{1}{10} . $

Na podstawie drugiej części tezy twierdzenia Leibniza możemy napisać:

$| S - \sum_{k = 1}^{9} a_{n} | \leq \frac{1}{10} $

zatem suma częściowa, która przybliża wartość sumy $S $ z dokładnością $\frac{1}{10} $ to $S_{9} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} . $

Zadanie 10

Zastosuj twierdzenie Leibniza do wykazania, że szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{\ln n}{n} $ jest zbieżny.

Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym $a_{n} = \frac{\ln n}{n} . $ Wystarczy sprawdzić, że ciąg ten spełnia założenia twierdzenia Leibniza.

Wykażemy najpierw, że ciąg $(a_{n}) $ jest malejący od pewnego miejsca.

Możemy w tym celu wykorzystać fakt, że kolejne wyrazy ciągu to wartości funkcji $f (x) = \frac{\ln x}{x} $ dla $x = 1, 2, \dots $ .

Pochodna funkcji $f $ jest równa $f^{'} (x) = {(\frac{\ln x}{x})}^{'} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}} $ .

Pochodna ta jest ujemna wtedy i tylko wtedy, gdy $1 - \ln x < 0, $ czyli $\ln x > 1, $ skąd otrzymujemy $x \geq e . $

Zatem funkcja $f $ jest malejąca w przedziale $[e, \infty) . $

Ponieważ $e < 3, $ więc wynika stąd, że ciąg $(a_{n}) $ jest malejący dla $n \geq 3. $

Iloraz $\frac{\ln x}{x} $ jest wyrażeniem nieoznaczonym typu $\frac{\infty}{\infty} $ gdy $x $ dąży do $\infty . $

Zatem na podstawie reguły de l'Hospitala mamy:

$lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} \overset{(H)}{=} lim_{x \to \infty} \frac{{(\ln x)}^{'}}{{(x)}^{'}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0 $

Ponieważ $lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0, $ więc również $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = 0 $ (wynika to z samej definicji granicy funkcji w $\infty $ ).

W ten sposób udowodniliśmy, że ciąg $(a_{n}) $ jest dla $n \geq 3 $ malejący i że jego granicą jest $0. $

Stąd i z twierdzenia Leibniza wynika, że szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{\ln n}{n} $ jest zbieżny.

Zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa szeregu

Szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} ​

jest rozbieżny (jako szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} ​

dla

p = 1 ​

), natomiast szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} ​

jako szereg naprzemienny.

Szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} ​

jest zbieżny (jako szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} ​

dla

p = 2 ​

). Szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{2}} ​

również jest zbieżny jako szereg naprzemienny. Okazuje się, że w tym ostatnim przypadku zbieżność szeregu

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{1}{n^{2}} ​

wynika nie tylko z twierdzenia Leibniza, ale z ogólniejszego twierdzenia wiążącego zbieżność szeregu

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ​

ze zbieżnością szeregu wartości bezwzględnych wyrazów szeregu.

Tak więc ostatnie twierdzenie możemy przeformułować, mówiąc, że szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

Przykład szeregu

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} ​

pokazuje, że szereg zbieżny nie musi być bezwzględnie zbieżny (rzeczywiście, szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} | = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} ​

jest rozbieżny).

Zadanie 11

Zbadaj zbieżność bezwzględną i zbieżność szeregu $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n \sqrt{\ln n}} . $

Zbadamy najpierw zbieżność bezwzględną naszego szeregu, a więc zbieżność szeregu $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} . $

Zastosujmy kryterium całkowe zbieżności szeregów. Podstawiając $t = \ln x $ w całce $\int \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} d x, $ otrzymujemy:

$\int \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} d x = \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t = 2 \sqrt{t} + C = 2 \sqrt{\ln x} + C $

Wynika stąd, że $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} d x = lim_{T \to \infty} \int_{2}^{T} \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} = lim_{T \to \infty} (2 \sqrt{\ln T} - 2 \ln 2) = \infty . $

Z rozbieżności całki $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} d x $ wynika rozbieżność szeregu $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} . $

Zatem badany szereg $\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n \sqrt{\ln n}} $ nie jest zbieżny bezwzględnie.

Aby zbadać zbieżność warunkową szeregu $\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n \sqrt{\ln n}}, $ zauważmy najpierw, że $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} = 0 $ .

Ponadto ciąg $a_{n} = \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} $ jest malejący, ponieważ każdy z dwóch czynników w mianowniku jest wyrazem ciągu rosnącego o wyrazach dodatnich.

Z twierdzenia Leibniza wynika, że szereg $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n \sqrt{\ln n}} $ jest zbieżny. Ponieważ wcześniej stwierdziliśmy, że nie jest on zbieżny bezwzględnie, więc powiemy, że jest on zbieżny warunkowo.

Zadanie 12

Zbadaj zbieżność bezwzględną i warunkową szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} $ w zależności od $x \in R . $

Zastosuj kryterium Cauchy'ego lub kryterium d'Alemberta.

Szereg jest zbieżny bezwzględnie dla $x \in (- 1, 1), $ warunkowo dla $x = - 1, $ rozbieżny poza tym.

Niech $a_{n} = \frac{x^{n}}{n} . $

Mamy $lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{x^{n + 1}}{n + 1}}{\frac{x^{n}}{n}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{x^{n + 1}}{n + 1}}{\frac{x^{n}}{n}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{x^{n}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{n}{n + 1} x | . $

Ostatnia granica jest równa zeru dla $x = 0 $ oraz $| x | $ dla każdego $x \neq 0. $

Wynika stąd, że dla każdego $x \in (- 1, 1) $ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{x^{n}}{n} | $ jest zbieżny, zatem badany szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} $ jest zbieżny i to bezwzględnie (kryterium d'Alemberta dla szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{x^{n}}{n} | $ jest identyczne, co dla badanego szeregu).

Dla $| x | > 1 $ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} $ jest rozbieżny – wynika to znowu z zastosowanego właśnie kryterium d'Alemberta.

Dla $x = 1 $ otrzymujemy szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}, $ o którym wiemy, że jest rozbieżny.

Dla $x = - 1 $ otrzymujemy szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n}, $ o którym wiemy, że jest zbieżny na podstawie twierdzenia Leibnitza.

Podsumowując: szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} $ jest zbieżny bezwzględnie dla $x \in (- 1, 1), $ warunkowo dla $x = - 1, $ rozbieżny poza tym.

Szereg będący przedmiotem ostatniego ćwiczenia jest przykładem tzw. szeregu potęgowego. W następnej części przyjrzymy się dokładniej takim szeregom.

Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Kryterium porównawcze

Kryterium ilorazowe

Kryterium d'Alemberta

Kryterium Cauchy'ego

Szereg naprzemienny

Zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa szeregu