Szeregi potęgowe. Przedział zbieżności

Z definicji szeregu potęgowego wynika, że szereg taki staje się szeregiem liczbowym dla każdej wartości zmiennej

x ​

. Zbiór tych

x ​

, dla których szereg potęgowy jest zbieżny, zależy od ciągu

(c_{n}) ​

współczynników.

Zacznijmy od spostrzeżenia, że każdy szereg potęgowy jest zbieżny dla

x = x_{0} . ​

c_{0} + c_{1} (x_{0} - x_{0}) + c_{2} {(x_{0} - x_{0})}^{2} + \dots = c_{0} . ​

Podamy teraz przykłady dwóch szeregów potęgowych, z których jeden jest zbieżny tylko dla

x = x_{0}, ​

a drugi jest zbieżny dla każdego

x \in R . ​

Promień zbieżności i przedział zbieżności szeregu potęgowego

Okazuje się, że poza omówionymi powyżej sytuacjami (zbieżność szeregu potęgowego tylko dla

x = x_{0} ​

i jego zbieżność dla każdego

x \in R) ​

możliwy jest przypadek, który można nazwać "pośrednim".

Mianowicie okazuje się, że każdy szereg potęgowy albo jest zbieżny tylko w swoim środku, albo dla wszystkich

x ​

rzeczywistych, albo w jednym z przedziałów postaci:

\begin{matrix} [x_{0} - R, x_{0} + R] \\ (x_{0} - R, x_{0} + R) \\ [x_{0} - R, x_{0} + R) \\ (x_{0} - R, x_{0} + R] \end{matrix} ​

Rozważmy szereg potęgowy $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - x_{0})}^{n} $ i dla ustalonego $x \in R $ oznaczmy przez $a_{n} $ jego wyraz ogólny: $a_{n} = c_{n} {(x - x_{0})}^{n} . $

Stosując kryterium Cauchy'ego, otrzymujemy:

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |} = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} {(x - x_{0})}^{n} |} = $

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{{| (x - x_{0}) |}^{n} \cdot | c_{n} |} = | x - x_{0} | lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} $

Rozważmy następujące trzy przypadki.

Przypadek I. $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} = + \infty $

W tym przypadku szereg jest zbieżny tylko dla $x = x_{0} $ .

Rzeczywiście, jeżeli $x \neq x_{0} $ , to

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} {(x - x_{0})}^{n} |} = lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{| c_{n} |} \cdot \sqrt[n]{{| x - x_{0} |}^{n}}) = $

$| x - x_{0} | lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} = \infty $

Na mocy kryterium Cauchy'ego szereg $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - x_{0})}^{n} $ jest rozbieżny.

Przypadek II. $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} = 0 $

W tym przypadku szereg jest zbieżny dla każdego $x \in R $ .

Rzeczywiście, dla dowolnego $x \in R $ mamy wówczas

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} {(x - x_{0})}^{n} |} = | x - x_{0} | lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} = $

$| x - x_{0} | \cdot 0 = 0 $ .

Na mocy kryterium Cauchy'ego szereg $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - x_{0})}^{n} $ jest bezwzględnie zbieżny.

Przypadek III. $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} = q, $ gdzie $q \in (0, \infty) $

Mamy wówczas

$lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} {(x - x_{0})}^{n} |} = | x - x_{0} | lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} = | x - x_{0} | q $

Na mocy kryterium Cauchy'ego wnioskujemy, że:

– jeżeli $| x - x_{0} | q < 1 $ (a więc $| x - x_{0} | < \frac{1}{q} $ ), to szereg $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - x_{0})}^{n} $ jest zbieżny (i to bezwzględnie)

– jeżeli $| x - x_{0} | q > 1 $ (a więc $| x - x_{0} | > \frac{1}{q} $ ), to szereg $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - x_{0})}^{n} $ jest rozbieżny.

Zauważmy na koniec, że:

$| x - x_{0} | < \frac{1}{q} \Leftrightarrow x \in (x_{0} - \frac{1}{q}, x_{0} + \frac{1}{q}) $

$| x - x_{0} | > \frac{1}{q} \Leftrightarrow $ $x \in (- \infty, x_{0} - \frac{1}{q}) \cup (x_{0} + \frac{1}{q}, \infty) $

Jeżeli przeczytałeś rozważania ukryte pod przyciskiem "Szczegóły" powyżej, to zrozumiesz następujące twierdzenie.

Uwaga. Stosując kryterium d'Alemberta (zamiast kryterium Cauchy'ego) w rozważaniach poprzedzających definicję promienia zbieżności, można wykazać, że do definicji promienia możemy użyć granicy

lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n + 1}}{c_{n}} | ​

(zamiast granicy

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} ​

). Musi być przy tym spełnione założenie

c_{n} \neq 0 ​

dla

n \geq n_{0} ​

, gdzie

n_{0} ​

jest pewną liczbą naturalną

Uwaga. Ponieważ

\frac{1}{\frac{c_{n + 1}}{c_{n}}} = \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} ​

, więc ostatni fakt możemy przeformułować następująco:

Gdy

R \in (0, \infty), ​

to twierdzenie Cauchy-Hadamarda nie rozstrzyga zbieżności szeregu potęgowego na końcach jego przedziału zbieżności, czyli w punktach

x_{0} - R ​

oraz

x_{0} + R . ​

Konkretny szereg może być zbieżny w obu końcach przedziału

(x_{0} - R, x_{0} + R), ​

w żadnym z jego końców, tylko w lewym końcu lub tylko w prawym końcu. W każdym jednak przypadku zbiór tych

x \in R, ​

dla których szereg potęgowy jest zbieżny, jest przedziałem.

[Egz] Zadanie 2

Wyznacz przedziały zbieżności następujących szeregów potęgowych:

a) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} = x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + \dots $

$[- 1, 1) $

Środkiem szeregu jest $x_{0} = 0 $ .

Współczynniki szeregu to ciąg $c_{n} = \frac{1}{n} $ .

Stosujemy wzór $R = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} | $ na promień zbieżności szeregu potęgowego i otrzymujemy:

$R = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n + 1}} | = lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n} = 1 $ .

Szereg jest więc:

zbieżny dla $x \in (- 1, 1) $ ;

rozbieżny dla $x \in (- \infty, - 1) \cup (1, \infty) $ .

Pozostaje zbadanie zbieżności dla $x = - 1 $ i $x = 1 $ .

Dla $x = - 1 $ szereg przyjmuje postać $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n} $ .

Jest to szereg naprzemienny, zatem zbieżny na mocy kryterium Leibnitza.

Dla $x = 1 $ szereg przyjmuje postać $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} $ .

Szereg ten jest rozbieżny.

Przedział zbieżności badanego szeregu to $[- 1, 1) $ .

b) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n \cdot 4^{n}} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{4}}{2 \cdot 4^{2}} + \frac{x^{6}}{3 \cdot 4^{3}} + \dots $

$(- 2, 2) $

Środkiem szeregu jest $x_{0} = 0 $ .

Współczynniki szeregu to ciąg $c_{n} = {\begin{cases} 0 dla n = 0, 1 oraz n = 2 k - 1 (k \geq 1) \\ \frac{1}{n \cdot 4^{n}} dla pozostałych n \geq 1 \end{cases} $ .

Ponieważ $c_{n} = 0 $ dla nieskończenie wielu $n $ , nie możemy zastosować wzoru $lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} | $ .

Również granica $lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| c_{n} |} $ nie istnieje.

Użyjemy następującego zabiegu.

Podstawiamy $t = x^{2} $ i otrzymujemy nowy szereg potęgowy zmiennej $t $ :

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{t^{n}}{n \cdot 4^{n}} = \frac{t}{4} + \frac{t^{2}}{2 \cdot 4^{2}} + \frac{t^{3}}{3 \cdot 4^{3}} + \dots $

Współczynniki tego szeregu to $c_{n} = \frac{1}{n \cdot 4^{n}} $ ( $n \geq 1) . $

Stosujemy wzór $R = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} | $ i otrzymujemy:

$lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{1}{n \cdot 4^{n}}}{\frac{1}{(n + 1) \cdot 4^{n + 1}}} | = lim_{n \to \infty} 4 \cdot \frac{n + 1}{n} = 4 $ .

Szereg jest więc:

zbieżny dla $t \in (- 4, 4) $ ;

rozbieżny dla $t \in (- \infty, - 4) \cup (4, \infty) $ .

Ponieważ $t = x^{2} $ oraz $| x^{2} | < 4 \Leftrightarrow | x | < 2 $ , więc powyższe dwa warunki oznaczają, że oryginalny szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n \cdot 4^{n}} $ jest:

zbieżny dla $x \in (- 2, 2) $ ;

rozbieżny dla $x \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty) $ .

Pozostaje zbadanie zbieżności dla $x = - 2 $ i $x = 2 $ .

Dla $x = - 2 $ szereg przyjmuje postać

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{2 n}}{n \cdot 4^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4^{n}}{n \cdot 4^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} $ .

Szereg ten jest rozbieżny.

Dla $x = 2 $ szereg przyjmuje postać

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{2 n}}{n \cdot 4^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4^{n}}{n \cdot 4^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} $ .

Otrzymaliśmy ten sam szereg, co dla $x = - 2 $ .

Szereg ten jest rozbieżny.

Ostatecznie widzimy, że przedział zbieżności badanego szeregu to $(- 2, 2) $ .

c) $\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} 2^{n} \frac{{(x + 3)}^{n}}{n} $

$(- \frac{7}{2}, - \frac{5}{2}) $

Środkiem szeregu jest $x_{0} = - 3 $ .

Współczynniki szeregu to $c_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} \cdot 2^{n}}{n} $ .

Stosujemy $R = lim_{n \to \infty} | \frac{c_{n}}{c_{n + 1}} | $ na promień zbieżności szeregu potęgowego i otrzymujemy:

$R = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{{(- 1)}^{n + 1} \cdot 2^{n}}{n}}{\frac{{(- 1)}^{n + 2} \cdot 2^{n + 2}}{n + 1}} | = lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2} $ .

Szereg jest więc:

zbieżny dla $x \in (- 3 - \frac{1}{2}, - 3 + \frac{1}{2}) = (- \frac{7}{2}, - \frac{5}{2}) $ ;

rozbieżny dla $x \in (- \infty, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty) $ .

Pozostaje zbadanie zbieżności dla $x = - \frac{7}{2} $ i $x = - \frac{5}{2} $ .

Dla $x = - \frac{7}{2} $ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} 2^{n} \frac{{(x + 3)}^{n}}{n} $ przyjmuje postać

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} 2^{n} \frac{{(- \frac{1}{2})}^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{2 n + 1}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{- 1}{n} $

Szereg ten jest rozbieżny.

Dla $x = - \frac{5}{2} $ nasz szereg przyjmuje postać

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} 2^{n} \frac{{(\frac{1}{2})}^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} $

Szereg ten jest rozbieżny.

Przedział zbieżności badanego szeregu to $(- \frac{7}{2}, - \frac{5}{2}) $ .

d) $\sum_{n = 0}^{\infty} 3^{n} {(x - 2)}^{n} $

$(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}) $

e) $\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{{(x + 1)}^{n}}{n!} $

$(- \infty, \infty) $

f) $\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{{(x - 1)}^{n}}{{(n + 1)}^{2}} $

$[0, 2] $

Szeregi potęgowe. Przedział zbieżności

Pojęcie szeregu potęgowego

Promień zbieżności i przedział zbieżności szeregu potęgowego