Szereg Taylora i Maclaurina

Wzór Taylora orzeka, że jeżeli funkcja

f ​

ma w przedziale

[x_{0}, x] ​

pochodną rzędu

n - 1 ​

oraz pochodną rzędu

n ​

w przedziale

(x_{0}, x) ​

wówczas istnieje

c \in (x_{0}, x) ​

, takie że

f (x) = f (x_{0}) + \frac{f^{'} (x_{0})}{1!} (x - x_{0}) + \dots + \frac{f^{(n - 1)} (x_{0})}{(n - 1)!} {(x - x_{0})}^{n - 1} + \frac{f^{^{(n)}} (c)}{n!} {(x - x_{0})}^{n} ​

f (x_{0}) + \frac{f^{'} (x_{0})}{1!} (x - x_{0}) + \dots + \frac{f^{(n - 1)} (x_{0})}{(n - 1)!} {(x - x_{0})}^{n - 1} ​

n ​

-tą resztą Lagrange'a rozwinięcia Taylora funkcji

f ​

. Współczynniki wielomianu Taylora to liczby postaci

\frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} . ​

Zajmiemy się teraz teraz szeregiem nieskończonym o takich samych współczynnikach, jak współczynniki wielomianu Taylora.

Przykład 1

Znajdziemy szereg Maclaurina funkcji $f (x) = \sin 2 x $ .

Mamy $f (0) = \sin 0 = 0. $ Mamy też:

$f^{'} (x) = 2 \cos 2 x $

$f^{''} (x) = - 4 \sin 2 x $

$f^{'''} (x) = - 8 \cos 2 x $

$f^{(4)} (x) = 16 \sin 2 x $

$f^{(5)} (x) = 32 \cos 2 x $

i ogólnie dla dowolnego $n \geq 0 $ (przypominamy, że przyjęliśmy konwencję, w myśl której $f^{(0)} (x) = f (x) $ ):

$f^{(n)} (x) = {\begin{array}{cl} {(- 1)}^{k} \cdot 2^{n} \cdot \sin 2 x & dla n = 2 k \\ {(- 1)}^{k} \cdot 2^{n} \cdot \cos 2 x & dla n = 2 k + 1 \end{array} (k = 0, 1, 2, \dots) $

Dla $x = 0 $ otrzymujemy $f (0) = 0 $ oraz:

$f^{'} (0) = 2 $

$f^{''} (0) = 0 $

$f^{'''} (0) = - 8 $

$f^{(4)} (0) = 0 $

$f^{(5)} (0) = 32 $

i ogólnie dla dowolnego $n \geq 0 $ :

$f^{(n)} (0) = {\begin{array}{cl} 0 & dla n = 2 k \\ {(- 1)}^{k} \cdot 2^{n} & dla n = 2 k + 1 \end{array} (k = 0, 1, 2, \dots) $

Szereg Maclaurina $f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!} x + \frac{f^{^{''}} (x_{0})}{2!} x^{2} + \dots $ funkcji $f $ ma więc postać:

$\frac{2 x}{1!} - \frac{2^{3} x^{3}}{3!} + \frac{2^{5} x^{5}}{5!} \dots $

lub, w innym zapisie,

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k} 2^{2 k + 1} x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} $

Zadanie 1

Wyznacz szereg Maclaurina funkcji $f (x) = \frac{1}{1 - x} $ , a następnie wyznacz jego przedział zbieżności.

a) Kolejne pochodne funkcji $f $ są równe:

$f^{'} (x) = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} $

$f^{''} (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{3}} $

$f^{^{'''}} (x) = \frac{3 \cdot 2}{{(x - 1)}^{4}} $

i ogólnie

$f^{(n)} (x) = \frac{{(- 1)}^{n + 1} n!}{{(x - 1)}^{n + 1}} $

Otrzymujemy stąd

$f^{(n)} (0) = \frac{{(- 1)}^{n + 1} n!}{{(- 1)}^{n + 1}} = n! $

Szereg Maclaurina funkcji $f $ jest więc równy

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n!} x^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n} $

Aby wyznaczyć przedział zbieżności szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} x^{n} $ , wystarczy zauważyć, że jest to szereg geometryczny o ilorazie równym $x $ .

Pamiętamy, że szereg geometryczny o ilorazie $q $ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $| q | < 1 $ .

Wobec tego przedziałem zbieżności naszego szeregu jest $(- 1, 1) $ .

Szereg Taylora ma oczywiście swój przedział zbieżności, jako szereg potęgowy. Natomiast nawet dla

x ​

należących do przedziału zbieżności szereg Taylora nie musi być zbieżny do

f (x) ​

Poniższe twierdzenie podaje warunek dostateczny równości

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} {(x - x_{0})}^{n} ​

Przykład 2

Wykażemy, że funkcja $f (x) = e^{x} $ jest sumą swojego szeregu Maclaurina $f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!} x + \frac{f^{^{''}} (x_{0})}{2!} x^{2} + \dots $ dla każdego $x \in R $ :

$e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots $

Dokładniej, wykażemy, że reszta we wzorze Maclaurina funkcji $f (x) = e^{x} $ dąży do zera dla każdego $x \in R $ przy $n \to \infty $ .

Dla każdego $n \geq 1 $ mamy $f^{(n)} (x) = e^{x} $ . Również $f (0) = 0 $ .

Szereg Maclaurina $f (0) + \frac{f^{'} (0)}{1!} x + \frac{f^{^{''}} (x_{0})}{2!} x^{2} + \dots $ funkcji $f (x) = e^{x} $ ma więc postać

$1 + \frac{x}{1!} + \frac{x}{2!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} $

Reszta $R_{n} $ w rozwinięciu Maclaurina funkcji $f $ ma z kolei postać

$\frac{f^{^{(n)}} (c)}{n!} x^{n} = \frac{e^{c}}{n!} x^{n} $

gdzie $| c | < | x | $ .

Wykażemy, że reszta ta dąży do zera przy $n \to \infty $ . W tym celu skorzystamy z warunku koniecznego zbieżności szeregu $\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} zbieżny & ⟹ & lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 \end{matrix} $ , wykazując, że szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{c} x^{n}}{n!} $ jest zbieżny dla każdego $x \in R $ .

Stosując do szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{c} x^{n}}{n!} $ kryterium d'Alemberta $\begin{matrix} lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < 1 ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} | < \infty \\ lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | > 1 ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} rozb. \end{matrix} $ , otrzymujemy

$lim_{n \to \infty} | \frac{e^{c} \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}}{e^{c} \frac{x^{n}}{n!}} | = lim_{n \to \infty} | x | \cdot \frac{1}{n + 1} = 0 $

Wobec tego szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{c} x^{n}}{n!} $ jest zbieżny dla każdego $x \in R $ . Na mocy warunku koniecznego zbieżności szeregu $\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} zbieżny & ⟹ & lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 \end{matrix} $ mamy więc $lim_{n \to \infty} \frac{e^{c}}{n!} x^{n} $ .

W ten sposób wykazaliśmy, że $n $ -ta reszta we wzorze Maclaurina funkcji $f (x) = e^{x} $ dąży do zera dla każdego $x \in R $ , a stąd wynika, że $e^{x} $ jest sumą swojego szeregu Maclaurina:

$e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} $

Szeregi Maclaurina podstawowych funkcji elementarnych

Powyższe twierdzenie mówi, że jeżeli funkcja

f ​

jest sumą jakiegokolwiek szeregu potęgowego, to współczynniki tego szeregu muszą być współczynnikami rozwinięcia Taylora funkcji

f ​

. Mówiąc krócej, jedynym szeregiem potęgowym, którego sumą jest funkcja

f ​

, może być jej szereg Taylora.

[Egz] Zadanie 2

Wyznacz szereg Maclaurina funkcji $f (x) = e^{- x} $ .

Skorzystamy z rozwinięcia Maclaurina $e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} $ funkcji $e^{x} $ .

We wzorze $e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} $ podstawiamy $- x $ zamiast $x $ i otrzymujemy

$e^{- x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- x)}^{n}}{n!} $

czyli

$e^{- x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} x^{n}}{n!} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + \dots $

[Egz] Zadanie 3

Korzystając z rozwinięcia Maclaurina funkcji $y = \cos x $ , znajdź szereg Maclaurina funkcji $f (x) = \cos^{2} x $ .

$\cos^{2} x = 1 - \frac{2^{1} x^{2}}{2!} + \frac{2^{3} x^{4}}{4!} - \dots $

lub równoważnie

$\cos^{2} x = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{2^{2 n - 1} x^{2 n}}{(2 n)!} $

Z tożsamości trygonometrycznej $\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1 $ wyznaczamy $\cos^{2} x $ :

$\cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 x) $

Rozwinięcie funkcji $\cos x $ w szereg Maclaurina ma postać

$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} $

Wobec tego możemy napisać kolejno:

$\cos 2 x = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{{(2 x)}^{2 n}}{(2 n)!} $

$\cos 2 x = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{2^{2 n} x^{2 n}}{(2 n)!} $

Otrzymujemy stąd

$\cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 x) = \frac{1}{2} (1 + \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{2^{2 n} x^{2 n}}{(2 n)!}) $

$\cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + 1 - \frac{2^{2} x^{2}}{2!} + \frac{2^{4} x^{4}}{4!} - \dots) $

$\cos^{2} x = 1 - \frac{2^{1} x^{2}}{2!} + \frac{2^{3} x^{4}}{4!} - \dots $

$\cos^{2} x = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{2^{2 n - 1} x^{2 n}}{(2 n)!} $

[Egz] Zadanie 4

Rozwiń funkcję $f $ w szereg potęgowy, a następnie wyznacz wartość wskazanej pochodnej we wskazanym punkcie:

a) $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x} $ , $f^{(10)} (0) $

$\frac{x^{2}}{1 + x} = x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5} + \dots $

lub równoważnie

$\frac{x^{2}}{1 + x} = \sum_{n = 2}^{\infty} {(- 1)}^{n} x^{n} $

Szukana wartość pochodnej to

$f^{(10)} (0) = 10! $

Zauważmy, że wyrażenie $\frac{x^{2}}{1 + x} $ jest dla $x \in (- 1, 1) $ sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_{1} = x^{2} $ i ilorazie $q = - x $ .

Ze wzoru $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{1} q^{n} = \frac{a_{1}}{1 - q} $ otrzymujemy więc

$\frac{x^{2}}{1 + x} = x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5} + \dots $

lub, w innym zapisie,

$\frac{x^{2}}{1 + x} = \sum_{n = 2}^{\infty} {(- 1)}^{n} x^{n} $

Współczynniki naszego szeregu są równe $c_{n} = {(- 1)}^{n} $ dla $n \geq 2 $ .

Ze wzoru $f^{(n)} (0) = c_{n} \cdot n! $ mamy więc w naszym przypadku

$f^{(10)} (0) = {(- 1)}^{10} \cdot 10! = 10! $

b) $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4} $ , $f^{(8)} (0) $

$\frac{1}{x^{2} + 4} = \frac{1}{4} - \frac{x^{2}}{4^{2}} + \frac{x^{4}}{4^{3}} - \frac{x^{6}}{4^{4}} + \dots $

lub równoważnie

$\frac{1}{x^{2} + 4} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{4^{n + 1}} $

Szukana wartość pochodnej to

$f^{(8)} (0) = \frac{8!}{4^{5}} $

Przekształcamy wyrażenie $\frac{1}{x^{2} + 4} $ :

$\frac{1}{x^{2} + 4} = \frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4})} = $

$\frac{\frac{1}{4}}{1 - (- \frac{x^{2}}{4})} $

Otrzymane wyrażenie jest dla $x \in (- 2, 2) $ sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_{1} = \frac{1}{4} $ i ilorazie $q = - \frac{x^{2}}{4} $ .

Jeżeli wzór $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{1} q^{n} = \frac{a_{1}}{1 - q} $ na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego zapiszemy w postaci

$\frac{a_{1}}{1 - q} = a_{1} \sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} $

wówczas łatwiej nam będzie wypisać kolejne wyrazy naszego szeregu:

$\frac{1}{x^{2} + 4} = \frac{1}{4} (1 - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{4}}{4^{2}} - \frac{x^{6}}{4^{3}} + \dots) $

czyli, po wymnożeniu,

$\frac{1}{x^{2} + 4} = \frac{1}{4} - \frac{x^{2}}{4^{2}} + \frac{x^{4}}{4^{3}} - \frac{x^{6}}{4^{4}} + \dots $

Ostatnie wyrażenie możemy zapisać jako

$\frac{1}{x^{2} + 4} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{4^{n + 1}} $

Musimy teraz wyznaczyć $f^{(8)} (0) $ , gdzie $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4} $ .

Mamy $f^{(8)} (0) = c_{8} \cdot 8! $ , gdzie $c_{n} $ jest współczynnikiem przy $x^{n} $ w rozwinięciu $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{4^{n + 1}} $ .

W szeregu po prawej stronie ostatniej równości współczynnik $c_{8} $ odpowiada wartości $n = 4 $ (ponieważ dla tej właśnie wartości otrzymujemy wyraz zawierający $x^{8} $ ).

Tak więc mamy

$c_{8} = {(- 1)}^{4} \cdot \frac{1}{4^{5}} $

Ostatecznie widzimy, że $f^{(8)} (0) = \frac{8!}{4^{5}} $ .

c) $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} $ , $f^{(5)} (2) $

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} = 1 - {(x - 2)}^{2} + {(x - 2)}^{4} - {(x - 2)}^{6} + \dots $

lub równoważnie

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} {(x - 2)}^{2 n} $

Szukana wartość pochodnej to

$f^{(5)} (2) = 0 $

Przekształcamy wyrażenie $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} $ :

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} = \frac{1}{{(x - 2)}^{2} + 1} $

Otrzymane wyrażenie jest dla $| x - 2 | < 1 $ sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_{1} = 1 $ i ilorazie $q = - {(x - 2)}^{2} $ .

Ze wzoru $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{1} q^{n} = \frac{a_{1}}{1 - q} $ na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego mamy więc

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} = 1 - {(x - 2)}^{2} + {(x - 2)}^{4} - {(x - 2)}^{6} + \dots $

lub równoważnie

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 5} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} {(x - 2)}^{2 n} $

Szukana wartość pochodnej $f^{(5)} (2) $ jest w tym przypadku bardzo łatwa do wyznaczenia. Zauważmy mianowicie, że w szeregu po prawej stronie ostatniej równości współczynniki $c_{n} $ przy nieparzystych potęgach zmiennej $x $ są równe zeru.

Zatem $f^{(5)} (2) = c_{5} \cdot 5! = 0 $

[Egz] Zadanie 5

Znajdź rozwinięcie fukcji $f (x) = \sin x \cos x $ w szereg potęgowy.

$\sin x \cos x = x - \frac{2^{2} x^{3}}{3!} + \frac{2^{4} x^{5}}{5!} - \frac{2^{6} x^{7}}{7!} + \dots $

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x $

$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots $

[Egz] Zadanie 6

Wyznacz $f^{(8)} (0) $ dla funkcji $f (x) = \ln (4 + x^{2}) $ .

$f^{(8)} (0) = - \frac{8!}{1024} $

$\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \dots $

[Egz] Zadanie 7

Znajdź rozwinięcie funkcji $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} $ w szereg potęgowy.

$\sinh x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} $

lub równoważnie

$\sinh x = \frac{x}{1!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots $

Skorzystaj z rozwinięcia $e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} $ .

Skorzystamy z rozwinięcia funkcji $e^{x} $ w szereg potęgowy. Mamy dla każdego $x \in R $

$e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots $

Podstawiając $- x $ w miejsce $x $ , otrzymujemy dla każdego $x \in R $

$e^{- x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{x^{n}}{n!} = 1 - \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + \dots $

Wobec tego

$e^{x} - e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} - \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{x^{n}}{n!} = $

$\sum_{n = 0}^{\infty} [\frac{x^{n}}{n!} - {(- 1)}^{n} \frac{x^{n}}{n!}] = $

$(1 - 1) + (\frac{x}{1!} - (- \frac{x}{1!})) + (\frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{2}}{2!}) + \dots = $

$2 (\frac{x}{1!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots) $

Otrzymujemy stąd

$\sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) = \frac{x}{1!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots $

lub równoważnie

$\sinh x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} $

Zauważ, że otrzymane rozwinięcie różni się od rozwinięcia funkcji sinus

$\sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} $

tylko tym, że w drugim przypadku wszystkie wyrazy szeregu występują ze znakiem "plus".

[Egz] Zadanie 8

Znajdź rozwinięcie funkcji $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} $ w szereg potęgowy.

$\sinh x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} $

lub równoważnie

$\sinh x = 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots $

Skorzystaj z rozwinięcia $e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} $ .

[Egz] Zadanie 9

Znajdź rozwinięcie funkcji $f (x) = \frac{1}{1 - x} $ w szereg potęgowy o środku w punkcie $x_{0} = 2 $ . Następnie wykorzystaj otrzymany wynik do wyznaczenia pochodnej $f^{(7)} (2) . $

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} {(x - 2)}^{n} $

lub równoważnie

$\frac{1}{1 - x} = - 1 + (x - 2) - {(x - 2)}^{2} + \dots $

Szukana wartość pochodnej jest równa

$f^{(7)} (2) = 7! $

Dla każdego $x \neq 1 $ możemy napisać

$\frac{1}{1 - x} = \frac{1}{- 1 - (x - 2)} = $

czyli

$\frac{1}{1 - x} = \frac{- 1}{1 + (x - 2)} $

Prawa strona ostatniej równości jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $- 1 $ i ilorazie $- (x - 2) . $

Szereg ten jest zbieżny dla $| x - 2 | < 1 $ , czyli w przedziale $(1, 3) $ .

Sam szereg ma postać

$\frac{1}{1 - x} = \frac{- 1}{1 + (x - 2)} = - 1 + (x - 2) - {(x - 2)}^{2} + $

lub równoważnie

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} {(x - 2)}^{n} $

Dla wyznaczenia pochodnej $f^{(7)} (2) = 7! $ stosujemy twierdzenie 2 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - x_{0})}^{n} ⟹ c_{n} = \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} $ .

W naszym przypadku $7. $ współczynnik szeregu jest równy $1, $ zatem

$f^{(7)} (2) = 7! $

[Egz] Zadanie 10

Znajdź rozwinięcie funkcji $f (x) = \frac{1}{1 + 3 x} $ w szereg potęgowy o środku w punkcie $x_{0} = 2 $ . Następnie wykorzystaj otrzymany wynik do wyznaczenia pochodnej $f^{(7)} (2) . $

$\frac{1}{1 + 3 x} = \frac{1}{7} (1 - \frac{3}{7} (x - 2) + \frac{3^{2}}{7^{2}} {(x - 2)}^{2} - \frac{3^{3}}{7^{3}} {(x - 2)}^{3} + \dots) $

lub równoważnie

$\frac{1}{1 + 3 x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{3^{n}}{7^{n + 1}} {(x - 2)}^{n} $

Ponadto

$f^{(7)} (2) = - \frac{3^{7} \cdot 7!}{7^{8}} $

Dla każdego $x \neq - \frac{1}{3} $ możemy napisać:

$\frac{1}{1 + 3 x} = \frac{1}{1 + 3 (x - 2) + 6} = $

$= \frac{1}{7 + 3 (x - 2)} = \frac{1}{7 [1 + \frac{3}{7} (x - 2)]} = $

$\frac{\frac{1}{7}}{1 + \frac{3}{7} (x - 2)} $

Prawa strona ostatniej równości jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $\frac{1}{7} $ i ilorazie $- \frac{3}{7} (x - 2) . $

Szereg ten jest zbieżny dla $| \frac{3}{7} (x - 2) | < 1, $ czyli w przedziale $(- \frac{1}{3}, \frac{13}{3}) . $

Sam szereg ma postać

$\frac{1}{1 + 3 x} = \frac{\frac{1}{7}}{1 + \frac{3}{7} (x - 2)} = $

$= \frac{1}{7} (1 - \frac{3}{7} (x - 2) + \frac{3^{2}}{7^{2}} {(x - 2)}^{2} - \frac{3^{3}}{7^{3}} {(x - 2)}^{3} + \dots) $

lub równoważnie

$\frac{1}{1 + 3 x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{3^{n}}{7^{n + 1}} {(x - 2)}^{n} $

Dla wyznaczenia pochodnej $f^{(7)} (2) $ stosujemy twierdzenie 2 $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - x_{0})}^{n} ⟹ c_{n} = \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} $ o związku współczynnika szeregu potęgowego z pochodną funkcji będącej sumą tego szeregu.

W naszym przypadku $7. $ współczynnik szeregu jest równy

$c_{7} = {(- 1)}^{7} \frac{3^{7}}{7^{8}} $

zatem

$f^{(7)} (2) = - \frac{3^{7} \cdot 7!}{7^{8}} $

Zadanie 11

Rozwiń funkcję $f (x) = \frac{3 x}{1 + 3 x} $ w szereg potęgowy o środku $x_{0} = 1. $

$\frac{3 x}{1 + 3 x} = \frac{3}{4} + \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{3^{n}}{4^{n + 1}} {(x - 1)}^{n} $

lub równoważnie

$\frac{3 x}{1 + 3 x} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4^{2}} (x - 1) - \frac{3^{2}}{4^{3}} {(x - 1)}^{2} + \dots $

Dzielimy licznik przez mianownik z resztą:

$\frac{3 x}{1 + 3 x} = 1 - \frac{1}{1 + 3 x} $

Przekształcamy wyrażenie $\frac{1}{1 + 3 x} $ , tak aby otrzymać sumę szeregu geometrycznego o środku w punkcie $x_{0} = 1 $ .

$\frac{1}{1 + 3 x} = \frac{1}{1 + 3 (x - 1) + 3} = $

$\frac{1}{4 + 3 (x - 1)} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{3 (x - 1)}{4}} $

Ostatnie wyrażenie jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $\frac{1}{4} $ i ilorazie $- \frac{3 (x - 1)}{4} . $

Szereg ten jest zbieżny dla $| \frac{3 (x - 1)}{4} | < 1, $ czyli dla $x \in (- \frac{1}{3}, \frac{7}{3}) $ . Dla każdego $x $ z tego przedziału zachodzi równość

$\frac{1}{1 + 3 x} = \frac{1}{4} (1 - \frac{3}{4} (x - 1) + \frac{3^{2}}{4^{2}} {(x - 1)}^{2} - \dots) = $

$\frac{1}{4} - \frac{3}{4^{2}} (x - 1) + \frac{3^{2}}{4^{3}} {(x - 1)}^{2} - \dots $

lub równoważnie

$\frac{x}{1 + 3 x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \frac{3^{n}}{4^{n + 1}} {(x - 1)}^{n} $

Zatem wyjściowa funkcja $\frac{3 x}{1 + 3 x} = 1 - \frac{1}{1 + 3 x} $ ma rozwinięcie:

$\frac{3 x}{1 + 3 x} = 1 - (\frac{1}{4} - \frac{3}{4^{2}} (x - 1) + \frac{3^{2}}{4^{3}} {(x - 1)}^{2} - \dots) = $

$\frac{3}{4} + \frac{3}{4^{2}} (x - 1) - \frac{3^{2}}{4^{3}} {(x - 1)}^{2} + \dots $

lub równoważnie

$\frac{3 x}{1 + 3 x} = \frac{3}{4} + \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{3^{n}}{4^{n + 1}} {(x - 1)}^{n} $