\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[margin=.5in]{geometry}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{color}

\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand{\expr}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\newcommand{\norm}[1]{\left\| #1 \right\|}
\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand{\C}{\mathbf{C}}
\newcommand{\N}{\mathbf{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\pr}{\mathbf{P}}
\newcommand{\ex}{\mathbf{E}}
\newcommand{\ind}{\mathbf{1}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\ph}{\varphi}
\newcommand{\ro}{\varrho}
\newcommand{\thet}{\vartheta}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\bd}[1]{\partial #1}
\newcommand{\sfrac}[2]{\mbox{$\frac{#1}{#2}$}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}

\newcommand{\formula}[2][nolabel]
{\ifthenelse{\equal{#1}{nolabel}}
 {\begin{align*} #2 \end{align*}}
 {\ifthenelse{\equal{#1}{}}
  {\begin{align} #2 \end{align}}
  {\begin{align} \label{#1} #2 \end{align}}
 }
}

%
%                            ---------- o ----------
%

\begin{document}
\sloppy

\pagestyle{empty}

\begin{center}\Large\textsc{Nierówności i równości \\ cykliczne i symetryczne}\end{center}

\newcommand{\otag}[1]{{\footnotesize[#1]}}
%\newcommand{\sol}[1]{{\par\footnotesize\textsc{Rozwiązanie:} #1}}
\newcommand{\sol}[1]{}

\noindent\textbf{Symetria}

\begin{enumerate}

\item
Udowodnij, że dla $a, b, c > 0$ zachodzi $\ds \frac{a^4 + b^4}{a + b} + \frac{b^4 + c^4}{b + c} + \frac{c^4 + a^4}{c + a} \ge a^3 + b^3 + c^3 $.
\sol{$2 a^4 + 2 b^4 \ge (a^3 + b^3)(a + b)$.}

\item
Udowodnij, że dla $a, b, c > 0$ zachodzi $\ds \frac{a + b + c}{2} \ge \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ca}{c + a} $.
\sol{$(a + b)^2 \ge 4 a b$.}

\item \otag{56OM}
Liczby $a, b, c$ należą do przedziału $\left<0; 1\right>$. Udowodnić, że $\ds \frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ca + 1} + \frac{c}{ab + 1} \le 2$.
\sol{$2ab + 2 \ge ab + 1 + c \ge a + b + c$.}

\item \otag{57OM}
Liczby dodatnie $a, b, c$ spełniają warunek $ab + bc + ca = abc$. Dowieść, że \[ \frac{a^4 + b^4}{ab(a^3 + b^3)} + \frac{b^4 + c^4}{bc(b^3 + c^3)} + \frac{c^4 + a^4}{ca(c^3 + a^3)} \ge 1 \, . \]
\sol{$2\frac{a^4 + b^4}{ab(a^3 + b^3)} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.}

\item
Udowodnij wprost (bez odwoływania się do nierówności o średnich), że dla $a, b, c > 0$ zachodzi
\[
 a^3 + b^3 + c^3 \ge 3abc .
\]
\sol{$a^3 + b^3 \ge a^2 b + ab^2$, $a^2c + b^2c \ge 2abc$.}

\item
Udowodnij, że dla $a, b, c > 0$ zachodzi $\ds \frac{a^8 + b^8 + c^8}{a^3 b^3 c^3} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.
\sol{$a^8 + b^8 \ge a^5 b^3 + a^3 b^5$, $a^5 c^3 + b^5 c^3 \ge a^3 b^2 c^3 + a^2 b^3 c^3$.}

\item
Udowodnij, że dla $a, b, c > 0$ zachodzi $(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \ge (a + b)(b + c)(c + a) $ oraz że równość ma miejsce tylko gdy $a = b = c = 1$.
\sol{$(a + b)^2 \le (1 + a^2)(1 + b^2)$ z równością gdy $ab = 1$.}

\item \otag{55OM}
Udowodnić, że jeżeli $a, b, c$ są liczbami rzeczywistymi, to \[ \sqrt{2(a^2+b^2)} + \sqrt{2(b^2+c^2)} + \sqrt{2(c^2+a^2)} \ge \sqrt{3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2} \, . \]
\sol{Kwadrat lewej strony $\ge 4(a^2+b^2+c^2) + 2|a+b|\cdot|b+c| + 2|b+c|\cdot|c+a| + 2|c+a|\cdot|a+b|$ i ponadto $|a+b|\cdot|b+c| \ge b^2+ab+ac+bc$.}

\item \otag{56OM}
Dana jest liczba rzeczywista $c > -2$. Dowieść, że jeżeli liczby $x_1, x_2, ..., x_n$ ($n \ge 2$) są dodatnie oraz
\[ \sqrt{x_1^2 + c x_1 x_2 + x_2^2} + \sqrt{x_2^2 + c x_2 x_3 + x_3^2} + ... \sqrt{x_n^2 + c x_n x_1 + x_1^2} = \sqrt{c + 2}(x_1 + x_2 + ... + x_n) \, , \]
to $c = 2$ lub $x_1 = x_2 = ... = x_n$.
\sol{$p^2 + cpq + q^2 = \frac{c + 2}{4}(p + q)^2 - \frac{c - 2}{4} (p - q)^2$.}

\item \otag{BMO 1996}
Niech $a, b, c, d$ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi spełniającymi $a + b + c + d = 12$ oraz $abcd = 27 + ab + ac + ad + bc + bd + cd$. Znajdź wszystkie możliwe wartości $a, b, c, d$.
\sol{$\sqrt{abcd} \le 9$, więc $2 abcd \le 9(ab + cd)$.}

\item \otag{BMO 2005}
Niech $a, b, c$ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że \[ \expr{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}^2 \ge (a + b + c) \expr{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \, . \]
\sol{Wymnożyć, $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$, przez co $\frac{a^2}{b^2} + \frac{b}{a} - \frac{a}{b} - 1 \ge 0$.}

\item \otag{53OM}
Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 3$ i dla każdego ciągu liczb dodatnich $x_1, x_2, ..., x_n$ zachodzi co najmniej jedna z nierówności \[ \sum_{i = 1}^n \frac{x_i}{x_{i+1} + x_{i+2}} \ge \frac{n}{2} \, , \quad \sum_{i = 1}^n \frac{x_i}{x_{i-1} + x_{i-2}} \ge \frac{n}{2} \] (przyjmujemy $x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2$ oraz $x_0 = x_n, x_{-1} = x_{n-1}$).
\sol{Wystarczy $\sum \frac{x_{i-1} + x_i + x_{i+1} + x_{i+2}}{x_i + x_{i+1}} \ge 2n$, czyli $\sum \frac{x_{i-1} + x_i}{x_i + x_{i+1}} + \frac{x_i + x_{i+1}}{x_{i-1} + x_i} \ge 2n$.}

\item
Niech $a, b, c$ będą długościami boków trójkąta. Udowodnij, że $\ds \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} < 2$.
\sol{$\frac{a}{b + c} < \frac{2a}{a + b + c}$.}

\end{enumerate}

\noindent\textbf{Czebyszewy}

\begin{enumerate}

\item \otag{BMO 2002}
Udowodnij, że dla wszystkich $a, b, c \in (0, 1)$ zachodzi $\ds \frac{a}{1-a} + \frac{b}{1-b} + \frac{c}{1-c} \ge \frac{3 \sqrt[3]{abc}}{1-\sqrt[3]{abc}}$.
\sol{Z nierówności Czebyszewa lewa strona $L$ spełnia $L \ge \frac{a+b+c}{3}(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c})$. Z nierówności między średnimi, $L \ge 3 \sqrt[3]{abc} / (1 - \frac{a+b+c}{3}) \ge 3 \sqrt[3]{abc} / (1 - \sqrt[3]{abc})$.}

\item
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich $x, y, z$ zachodzi $\ds (xy + yz + zx) \expr{\frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(y+z)^2} + \frac{1}{(z+x)^2}} \ge \frac{9}{4}$.
\sol{Lewa strona $L \ge 3 \Bigl(\frac{xy}{(x+y)^2} + \frac{yz}{(y+z)^2} + \frac{zx}{(z+x)^2}\Bigr)$, $\frac{xy}{(x+y)^2} \ge \frac{1}{4}$.}

\item
Udowodnij, że dla wszystkich liczb dodatnich $a, b, c$ zachodzi $\ds \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}$.
\sol{Z nierówności Czebyszewa lewa strona $L \ge \frac{a+b+c}{3}(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}) = 1 + \frac{L}{3}$.}

\item
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich $a, b, c$ zachodzi $\ds \frac{1}{a^3 (b+c)} + \frac{1}{b^3 (c+a)} + \frac{1}{c^3 (a+b)} \ge \frac{3}{2}$.
\sol{Wiemy już, że $\frac{A}{B+C} + \frac{B}{C+A} + \frac{C}{A+B} \ge \frac{3}{2}$. Jeśli $A + B + C \ge 3$, to z nierówności Czebyszewa otrzymujemy $\frac{A^2}{B+C} + \frac{B^2}{C+A} + \frac{C^2}{A+B} \ge \frac{3}{2}$. Wystarczy wstawić $A = \frac{1}{a}$, $B = \frac{1}{b}$, $C = \frac{1}{c}$.}

\end{enumerate}

\noindent\textbf{Łamanie symetrii}

\begin{enumerate}

\item \otag{56OM}
Liczby $a, b, c$ należą do przedziału $\left<0; 1\right>$. Udowodnić, że $\ds \frac{a}{bc + 1} + \frac{b}{ca + 1} + \frac{c}{ab + 1} \le 2$.
\sol{Niech $c$ będzie największe; wystarcza $\frac{a + b + 1}{1 + ab} \le 2$, czyli $(1-a)(1-b) + ab \ge 0$.}

\item
Udowodnij, że dla $a, b, c \in [0, 1]$ zachodzi 
\[
 \frac{a}{b + c + 1} + \frac{b}{c + a + 1} + \frac{c}{a + b + 1} + (1-a)(1-b)(1-c) \le 1 .
\]
\sol{Niech $c$ będzie największe; wystarczy udowodnić $\frac{a+b+c}{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c) \le 1$, czyli $(1-a)(1-b)(a+b+1) \le 1$, czyli $a^2(1-b) + b^2(1-a) + ab \ge 0$.}

\item \otag{BMO 2004}
\begin{enumerate}
\item Wiedząc, że liczby rzeczywiste $a, b, c$ spełniają $a + b + c = 0$, dowiedz, że \[ a^3 + b^3 + c^3 > 0 \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad a^5 + b^5 + c^5 > 0 \, . \]
\item Wiedząc, że liczby rzeczywiste $a, b, c, d$ spełniają $a + b + c + d = 0$, dowiedz, że \[ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 > 0 \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad a^5 + b^5 + c^5 + d^5 > 0 \, . \]
\end{enumerate}
\sol{(a) Oba warunki są równoważne $a > 0, b < 0, c < 0$ etc. (b) $a \ge b \ge c \ge d$; jeśli $b < 0$, to jak w (a); jeśli $b > 0$, to $c < 0$, oba warunki oznaczają, że $a - b > c - d$.}

\item \otag{BMO 1995}
\begin{enumerate}
\item Znajdź największą wartość wyrażenia $x^2 y - y^2 x$ gdy $0 \le x \le 1$ oraz $0 \le y \le 1$.
\item Znajdź największą wartość wyrażenia $x^2 y + y^2 z + z^2 x - x^2 z - y^2 x - z^2 y$ gdy $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.
\end{enumerate}
\sol{(a) $xy(x - y)$ dla ustalonego $y$ osiąga maksimum gdy $x = 2y$. (b) Niech $x < y$; $(y - x)z(x + y - z)$ osiąga maksimum gdy $2z = x + y$. Zostaje $\frac{1}{4}(y - x)^3$.}

\item \otag{BMO 1995}
Niech $a, b, c$ będą liczbami rzeczywistymi spełniającymi $a < b < c$, $a + b + c = 6$ oraz $ab + bc + ca = 9$. Udowodnij, że $0 < a < 1 < b < 3 < c < 4$.
\sol{$a = 2+p$, $b = 2+q$, $c = 2+r$. $p+q+r = 0$, $pq + qr + rp = -3$, $p^2 + q^2 + r^2 = 6$. Zatem $(p,q,r) = \alpha (-2, 1, 1) + \beta (-1, -1, 2)$, $\alpha, \beta > 0$, $\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = 1$. Stąd $1 \le 2\alpha + \beta \le 2$, $1 \le \alpha + 2\beta \le 2$, $|\alpha - \beta| < 1$.}

\item \otag{57OM}
Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań \[ \left\{ \begin{array}{l}a^2 = b^3 + c^3 \\ b^2 = c^3 + d^3 \\ c^2 = d^3 + e^3 \\ d^2 = e^3 + a^3 \\ e^2 = a^3 + b^3 \end{array}\right. \]
\sol{Niech $a$ ma największy moduł. Wtedy $d \le b$ i . Jeśli $a \ge 0$, to z $c^3 - a^3 = a^2 - e^2 \ge 0$ otrzymujemy $c = a$ i dalej $a = c = e = b = d$. Jeśli $a < 0$, to $a^3 + b^3 = e^2 \ge 0$, czyli $b = -a$ i jak wyżej.}

\item \otag{BMO 1999}
Nieujemne liczby rzeczywiste $p, q, r$ spełniają $p + q + r = 1$. Udowodnij, że $7(pq + qr + rp) \le 2 + 9pqr$.
\sol{$4(pq+qr+rp) = 2 - 2(p^2 + q^2 + r^2)$, $3(pq+qr+rp) = 9pqr + 2(p^2 + q^2 + r^2) - p^2(3p-1) - q^2(3q-1) - r^2(3r-1)$. Jeśli $p \ge q \ge r$, to $3p - 1 \ge 0$, $3r - 1 \le 0$, więc $p^2(3p-1) - q^2(3q-1) - r^2(3r-1) \ge q^2(3p + 3q + 3r - 3) = 0$.}

\end{enumerate}

\noindent\textbf{Rozmaitości}

\begin{enumerate}

\item \otag{53OM}
Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne $n$, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, ..., x_n, y_1, y_2, ..., y_n$ zachodzi nierówność \[ x_1 x_2 ... x_n + y_1 y_2 ... y_n \le \mbox{$\sqrt{x_1^2 + y_1^2}$} \cdot \mbox{$\sqrt{x_2^2 + y_2^2}$} \cdot ... \cdot \mbox{$\sqrt{x_n^2 + y_n^2}$} \, . \]
\sol{$n = 1$ --- nie, $n = 2$ --- nier. Schwarza, $n > 2$ --- indukcja, $n = 2$, $\sqrt{p^2 + q^2} \le p + q$. Albo: nierówność o średnich dla $\frac{x_i^2}{x_i^2 + y_i^2}$ oraz $\frac{y_i^2}{x_i^2 + y_i^2}$.}

\item \otag{55OM}
Dana jest liczba całkowita $n \ge 5$. Wyznaczyć liczbę rozwiązań w liczbach rzeczywistych $x_1, x_2, x_3, ..., x_n$ układu równań\[ x_{i-2}^3 + x_{i-1}^3 + x_i^3 = x_i^4 + x_{i+1}^3 + x_{i+2}^2 \quad \text{dla $i = 1, 2, ..., n$,} \] gdzie $x_{-1} = x_{n-1}, x_0 = x_n, x_1 = x_{n+1}, x_2 = x_{n+2}$.
\sol{Po dodaniu: $0 = \sum x_i^2 (x_i - 1)^2$, skąd $x_i = 1$ lub $x_i = 0$. Otrzymujemy $10$ rozw. gdy $n \equiv 0 \pmod{6}$, $8$ gdy $n \equiv 3$, $4$ gdy $n \equiv 2$ lub $n \equiv 4$, $2$ w pozostałych przypadkach.}

\item \otag{BMO 1993}
Niech $x, y, z$ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi spełniającymi $\frac{1}{3} \le xy + yz + zx \le 3$. Określ zbiór możliwych wartości wyrażeń $x y z$ oraz $x + y + z$.
\sol{$xy + yz + zx \ge 3 \sqrt[3]{x^2 y^2 z^2}$, $(x+y+z)^2 \ge 3(xy + yz + zx)$.}

\item \otag{BMO 1998}
Znajdź rozwiązanie układu równań \[ \left\{ \begin{array}{l}xy + yz + zx = 12 \\ xyz = 2 + x + y + z \end{array}\right. \] w którym $x, y, z$ są dodatnie i udowodnij, że jest to jedyne takie rozwiązanie. Udowodnij ponadto, że istnieje rozwiązanie tego układu, w którym $x, y, z$ są parami różnymi liczbami rzeczywistymi.
\sol{$xyz \le 8$, więc $\frac{3}{4} xyz \le x + y + z$.}

\item \otag{BMO 2003}
Niech $x, y, z$ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Udowodnij, że $x^2 yz + x y^2 z + xy z^2 \le \frac{1}{3}$.
\sol{$(x^4 + y^4 + z^4) \ge \frac{1}{3}(x^2 + y^2 + z^2)^2 = \frac{1}{3}$, więc $1 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 \ge \frac{1}{3} + 2(x^2 yz + x y^2 z + xy z^2)$.}

\item \otag{54OM}
Dla liczb dodatnich $a, b, c, d$ określamy $A = a^3+b^3+c^3+d^3$ oraz $B = bcd+cda+dab+abc$. Udowodnić nierówność $(a+b+c+d)^3 \le 4 A + 24 B$.
\sol{$4a^2(b+c+d) \le a(a+b+c+d)^2$, skąd $(a+b+c+d)^3 \le A + 6B + \frac{3}{4}(a+b+c+d)^3$.}

\item \otag{57OM}
Liczby rzeczywiste dodatnie $a, b, c$ spełniają warunek $ab + bc + ca = 3$. Dowieść, że $a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \ge 9$.
\sol{$(a+b+c)^2 \ge 3ab+3bc+3ca = 9$ oraz $a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \ge (a+b+c)(ab+bc+ca)$ (rozpisać i przyjąć, że $a \ge b \ge c$).}

\end{enumerate}

\begin{flushright}
Mateusz Kwaśnicki
\end{flushright}

%
%                            ---------- o ----------
%

\end{document}
