\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}
\usepackage{amssymb,bbm,mathrsfs}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[margin=1cm]{geometry}
\usepackage{ifthen}
\usepackage[perpage,symbol*]{footmisc}
\setfnsymbol{wiley}
\usepackage[hyperfootnotes=false]{hyperref}

\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\expr}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\newcommand{\norm}[1]{\left\| #1 \right\|}
\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand{\scalar}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand{\C}{\mathbbm{C}}
\newcommand{\R}{\mathbbm{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbbm{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbbm{N}}
\newcommand{\ind}{\mathbf{1}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\ph}{\varphi}
\newcommand{\ro}{\varrho}
\newcommand{\thet}{\vartheta}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\bd}[1]{\partial #1}

\newcommand{\fourier}{\mathcal{F}}
\newcommand{\laplace}{\mathcal{L}}

\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\res}{Res}
\DeclareMathOperator{\dom}{dom}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}

\newcommand{\formula}[2][nolabel]
{\ifthenelse{\equal{#1}{nolabel}}
 {\begin{align*} #2 \end{align*}}
 {\ifthenelse{\equal{#1}{}}
  {\begin{align} #2 \end{align}}
  {\begin{align} \label{#1} #2 \end{align}}
 }
}


%
%                            ---------- o ----------
%

\sloppy
\pagestyle{empty}
\thispagestyle{empty}

\begin{document}

\bigskip

\begin{center}\textbf{Pułapki rachunku prawdopodobieństwa}\end{center}

\bigskip

\medskip
\begin{enumerate}
\item Popularny w Polsce test przesiewowy na obecność wirusa HIV wykonany u~osoby zdrowej daje wynik pozytywny w przypadku około 15 osób na 1000. Z kolei u osoby chorej wynik negatywny uzyskiwany jest u przeciętnie jednej osoby na 1000\footnote{Zatem \emph{czułość} tego testu to $99{,}9\%$, a \emph{swoistość} --- $98{,}5\%$.}. W Polsce mniej więcej jedna osoba na tysiąc jest nosicielem HIV. Wybrany losowo Polak zrobił test i uzyskał wynik pozytywny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest nosicielem HIV?
\medskip
\item (\emph{Paradoks Simpsona}) Uniwersytet Kalifornijski w Berkeley został pozwany za dyskryminację kobiet: w 1973 roku przyjęto aż 44\% kandydatów na studia, lecz zaledwie 35\% kandydatek. Gdy zbadano wyniki na poszczególnych wydziałach, okazało się jednak, że nigdzie kobiety nie były (w ten sposób) dyskryminowane, natomiast w wielu przypadkach przyjęto większy odsetek kandydatek niż kandydatów. Czy to możliwe?
\begin{center}
\small
\begin{tabular}{||c||c|c||c|c||}
\hline
wydział & kandydaci & przyjęci & kandydatki & przyjęte \\
\hline
A&\phantom{0}825&\phantom{0}512&\phantom{0}108&\phantom{00}89\\
B&\phantom{0}560&\phantom{0}353&\phantom{00}25&\phantom{00}17\\
C&\phantom{0}417&\phantom{0}138&\phantom{0}375&\phantom{0}131\\
D&\phantom{0}272&\phantom{00}16&\phantom{0}341&\phantom{00}24\\
\hline
łącznie&2074&1019&\phantom{0}849&\phantom{0}261 \\
\hline
\end{tabular} \\[0.2em]
{\small Dane z wybranych czterech wydziałów}
\end{center}
\medskip
\item (\emph{Paradoks dwóch kopert}) Ania ma dwie koperty. Do jednej włożyła 1~zł, a do drugiej --- 3~zł. Następnie rzucała monetą do momentu, aż wypadł orzeł i potrajała zawartość każdej z kopert za każdym razem, gdy wypadła reszka. Potem koperty zakleiła, wybrała losowo (rzucając monetą, a~jakże) jedną z nich i wręczyła Bartkowi. Bartek otworzył ją i sprawdził, ile jest w niej pieniędzy. Wtedy Ania wyjaśniła mu, co zrobiła z kopertami i zapytała, czy woli zachować tę, którą dostał, czy wymienić ją na drugą. Co powinien zrobić Bartek?
\medskip
\item (\emph{Gra z bogiem}) Bóg wybiera dwie różne liczby całkowite i zapisuje je na kartkach. Następnie wybiera losowo jedną z kartek (rzucając monetą) i pokazuje Ani. Zadaniem Ani jest odgadnięcie, czy liczba, którą zobaczyła, jest większą czy mniejszą z liczb wybranych przez boga. Czy jej szanse wynoszą $50\%$? \\ {\small \href{http://kumple.org/god.php?lang=pl}{\textsc{zagraj:} \nolinkurl{http://kumple.org/god.php?lang=pl}}}
\medskip
\item (\emph{Paradoks Monty'ego Halla}, teleturniej \emph{Idź na całość}) Za jednymi z trojga drzwi znajduje się samochód, za pozostałymi --- kozy. Ania wybiera jedne drzwi, po czym Bartek otwiera jedne z pozostałych --- takie, za którymi znajduje się koza. Ania może teraz pozostać przy swojej decyzji lub ją zmienić. Co powinna zrobić? Czy sposób dokonywania wyboru przez Bartka ma znaczenie? \\ {\small \href{http://kumple.org/hall.php?lang=pl}{\textsc{zagraj:} \nolinkurl{http://kumple.org/hall.php?lang=pl}}}
\medskip
\item \emph{Prasa donosi, że żelki koloru turkusowego wywołują trądzik! Naukowcy przeprowadzili badania, jest tylko $5\%$ szans, że to zbieg okoliczności!} Dlaczego należy do tej informacji podchodzić ostrożnie? \\ \small{\href{http://xkcd.com/882/}{\textsc{źródło:} \nolinkurl{http://xkcd.com/882/}}}
\medskip
\item (\emph{Paradoks urodzin}) Liczba możliwych wyników losowania Lotto (dawniej: Dużym Lotku, jeszcze dawniej: Toto-Lotku) to $13\,983\,816$. Dzisiejsze losowanie jest 5718 z kolei. Co jest bardziej prawdopodobne: to, że pewien zestaw liczb wylosowano już dwa razy, czy to, że wszystkie wylosowane dotąd wyniki były różne\footnote{W rzeczywistości żaden wynik dotąd się nie powtórzył.}?%
\medskip
\item (\emph{Prawo Benforda}) Bartek wysłał Ani pocztą pytanie o pierwszą cyfrę liczby $2^n$ dla pewnej siedmiocyfrowej liczby $n$; jednak dokładna wartość $n$ była nieczytelna. Co powinna odpowiedzieć Ania? \\ {\small \href{https://dx.doi.org/10.2307\%2F2319349}{\textsc{artykuł:} \nolinkurl{https://dx.doi.org/10.2307\%2F2319349}}}
\end{enumerate}

\end{document}

