\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage[margin=.5in]{geometry}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{color}

\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\ceil}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand{\expr}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
\newcommand{\norm}[1]{\left\| #1 \right\|}
\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand{\C}{\mathbf{C}}
\newcommand{\N}{\mathbf{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbf{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbf{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}}
\newcommand{\pr}{\mathbf{P}}
\newcommand{\ex}{\mathbf{E}}
\newcommand{\ind}{\mathbf{1}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\ph}{\varphi}
\newcommand{\ro}{\varrho}
\newcommand{\thet}{\vartheta}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\bd}[1]{\partial #1}
\newcommand{\sfrac}[2]{\mbox{$\frac{#1}{#2}$}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}

\newcommand{\formula}[2][nolabel]
{\ifthenelse{\equal{#1}{nolabel}}
 {\begin{align*} #2 \end{align*}}
 {\ifthenelse{\equal{#1}{}}
  {\begin{align} #2 \end{align}}
  {\begin{align} \label{#1} #2 \end{align}}
 }
}

\DeclareMathOperator{\NWD}{NWD}

\newcommand{\otag}[1]{{\footnotesize[#1]}}
%\newcommand{\sol}[1]{{\par\footnotesize\textsc{Rozwiązanie:} #1}}
\newcommand{\sol}[1]{}

%
%                            ---------- o ----------
%

\begin{document}
\sloppy

%
%                            ---------- o ----------
%

\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\sc \Large Wielomiany o współczynnikach rzeczywistych}
\end{center}

\noindent Wielomian: $W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$
\begin{itemize}
\item współczynniki wielomianu: $a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n$; wyraz wolny: $a_0$; notacja: $a_k = [W(x)]_k$
\item stopień wielomianu: $n$ (gdy $a_n \ne 0$); wielomian stale równy $0$ nie ma stopnia (czasem: ma stopień $-\infty$)
\item pierwiastek: liczba $x$ taka, że $W(x) = 0$
\item wielomian nierozkładalny: jeśli $W(x) = P(x) Q(x)$, to stopień $P$ lub $Q$ jest równy $0$
\end{itemize}
$W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0$, $V(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_0$ \\ (przyjmujemy $a_j = 0$ dla $j > n$, $b_j = 0$ dla $j > m$)
\begin{itemize}
\item $W(x) + V(x)$ ma współczynnik $a_k + b_k$ przy $x^k$
\item $W(x) \cdot V(x)$ ma współczynnik $c_k = a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + a_2 b_{k-2} + ... + a_{k-1} b_1 + a_k b_0$ przy $x^k$
\item $W(x)$ dzielone przez $V(x)$ daje wynik $P(x)$ z resztą $R(x)$, jeśli: 
  \begin{itemize}
  \item $W(x) = P(x) V(x) + R(x)$
  \item stopień $R(x)$ jest mniejszy niż stopień $V(x)$
  \end{itemize}
\item $\NWD(W(x), V(x))$ --- największy wspólny dzielnik
\end{itemize}
Twierdzenia:
\begin{itemize}
\item twierdzenie ,,B{\'e}zouta'': jeśli $a$ jest pierwiastkiem $W(x)$, to $W(x)$ dzieli się przez $(x-a)$
\item wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków
\item wzory Vi{\`e}te'a: wielomian $(x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)...(x - a_n)$ ma współczynnik przy $x^{n-k}$ równy \formula{(-1)^k \sum a_{i_1} a_{i_2} a_{i_3} ... a_{i_k},} gdzie dodaje się iloczyny dla wszystkich możliwych układów liczb $1 \le i_1 < i_2 < i_3 < ... < i_k \le n$
\item przez każde $n+1$ punktów na płaszczyźnie o różnych współrzędnych poziomych przechodzi wykres dokładnie jednego wielomianu stopnia $n$
\item algorytm Euklidesa: jeśli $R(x)$ jest resztą z dzielenia $W(x)$ przez $V(x)$, to \formula{\NWD(W(x), V(x)) = \NWD(R(x), V(x))}
\item rozszerzony algorytm Euklidesa: istnieją takie $P(x)$ i $Q(x)$, że \formula{\NWD(W(x), V(x)) = P(x) W(x) + Q(x) V(x)}
\item każdy wielomian rozkłada się jednoznacznie na iloczyn wielomianów nierozkładalnych
\item zasadnicze twierdzenie algebry: tylko wielomiany stopnia $0$, $1$ i wielomiany stopnia $2$ o ujemnym wyróżniku są nierozkładalne
\item twierdzenie Abela: nie ma wzorów na pierwiastki wielomianów stopnia większego niż $4$ \\ dla stopnia $2$ jest to znany wzór z ,,deltą'', dla stopnia $3$ i $4$ --- wzory Cardano (współpraca: Ferrari, del Ferro, Tartaglia; XVI wiek)
\end{itemize}

\begin{center}
{\sc \Large Wielomiany o współczynnikach całkowitych}
\end{center}

\begin{itemize}
\item pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (gdzie $\NWD(p, q) = 1$) spełnia $p | a_0$, $q | a_n$
\item $k - l | W(k) - W(l)$
\item dzielenie z resztą i $\NWD$ prowadzą do wielomianów o współczynnikach wymiernych
\item wielomian moniczny --- jeśli $a_n = 1$; dzielenie z resztą przez wielomian moniczny daje iloraz i resztę o współczynnikach całkowitych
\item kryterium Eisensteina: jeśli $p$ --- liczba pierwsza, $p | a_j$ dla $j < n$, $p \not| a_n$, to $W(x)$ jest nierozkładalny na iloczyn wielomianów o współczynnikach całkowitych
\item lemat Gaussa: jeśli liczba pierwsza $p$ dzieli współczynniki $W(x) V(x)$, to dzieli współczynniki $W(x)$ lub współczynniki $V(x)$
\item twierdzenie Gaussa: jeśli $W(x)$ jest nierozkładalny na iloczyn wielomianów o współczynnikach całkowitych, to jest również nierozkładalny na iloczyn wielomianów o współczynnikach wymiernych
\item małe twierdzenie Fermata: jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to $p | n^{p-1} - 1$ dla każdego całkowitego $n \ge 0$ niepodzielnego przez $p$
\end{itemize}

\newpage

\begin{center}
{\sc \Large Zadania}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Znajdź wszystkie wielomiany stopnia $3$, mające pierwiastki $1$, $\sqrt{2}$ i $\pi$.
\item Znajdź wielomiany stopnia $3$, mające pierwiastki jak wyżej i przyjmujące w $7$ wartość $1$.
\item Znajdź wielomiany $W(x)$ stopnia $3$, mające pierwiastki $\sqrt{2}$, $\pi$ i takie, że $W(1) = A$, $W(7) = B$.
\item Znajdź wielomiany $W(x)$ stopnia $3$, dla których $W(a) = A$, $W(b) = B$, $W(c) = C$, $W(d) = D$.
\item Znajdź wszystkie wielomiany $W(x)$, które spełniają powyższe równości.

\item Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = x^3 + x^2 - x + 1$ przez $x - 1$, $x - 2$ oraz $x + 1$. Ile wynosi $W(1)$, $W(2)$, $W(-1)$?
\item Wyznacz możliwie najszybciej resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = x^7 - 3 x^6 + x^3 + 2 x^2 + 3$ przez $V(x) = x - 2$.

\item Niech $W(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + x + 2$, $V(x) = x^2 + x - 2$. Podziel $W(x)$ przez $V(x)$ z resztą.
\item Nie korzystając z wyników poprzedniego zadania, policz wartość reszty dla $x = 1$ i $x = -2$.
\item Znajdź wielomiany stopnia $1$, które dla $x = 1$ i $x = -2$ mają wartości takie, jak znalezione powyżej.
\item Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = x^{1000}$ przez $V(x) = x^2 - 3x + 2$.
\item Czy metoda użyta do rozwiązania poprzedniego zadania zadziała dla $V(x) = x^2 - 2x + 1$? A dla $V(x) = x^2 + 1$?
\item Znajdź wielomian możliwie najniższego stopnia, który przy dzieleniu przez $x^2 + 1$ daje resztę $x$, a przy dzieleniu przez $x^2 - 1$ --- resztę $1$.

\item Znajdź $\NWD(W(x), V(x))$, gdzie $W(x) = x^4 + x^2 + x - 1$, $V(x) = x^4 + x^3 - x^2 + 1$. Znajdź $P(x)$ i $Q(x)$ takie, że $\NWD(W(x), V(x)) = P(x) W(x) + Q(x) V(x)$.

\item Wymnóż $(x - a)(x - b)(x - c)$ oraz $(x - a)(x - b)(x - c)(x - d)$.
\item Załóżmy, że wielomian $W(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ ma $n$ pierwiastków. Wyraź \begin{enumerate} \item sumę pierwiastków; \item iloczyn pierwiastków; \item sumę kwadratów pierwiastków; \item sumę trzecich potęg pierwiastków; \item sumę odwrotności pierwiastków \end{enumerate} za pomocą $a_0, a_1, ..., a_{n-1}$.
\item Udowodnij, że jeśli wielomian $W(x)$ jak wyżej ma $n$ pierwiastków rzeczywistych, to $a_{n-2} \le \frac{n-1}{2n} a_{n-1}^2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\sc \Large Zadania z niedawnych olimpiad}
\end{center}

\noindent{\bf Współczynniki}
\begin{enumerate}
\item \otag{50OM}
Dana jest liczba naturalna $n \ge 2$. Wyznaczyć wszystkie wielomiany $P(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n$ mające
dokładnie $n$ pierwiastków nie większych niż $-1$ oraz spełniające warunek \formula{a_0^2 + a_1 a_n = a_n^2 + a_0 a_{n-1} .}
\sol{Niech $(-x_j)$ będą tymi pierwiastkami ($x_j \ge 1$), $G$ --- iloczynem $x_j$, $S$ --- sumą, a $H$ --- sumą odwrotności. Otrzymujemy $G^2 + G H = 1 + G S$, czyli $S - H = G - \frac{1}{G}$. Sprawdzamy, że gdy $a, b \ge 1$, to $(a - \frac{1}{a})(b - \frac{1}{b}) = ab - \frac{1}{ab} - (2 - \frac{2}{ab}) \le ab - \frac{1}{ab}$, skąd indukcyjnie $S - H \le G - \frac{1}{G}$. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy $x_1 = x_2 = ... = 1$. Jest więc jeden taki wielomian: $(x+1)^n$.}

\item \otag{51OM}
Stopień wielomianu $P(x)$ o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto dla każdego $x$ \formula{P(x^2-1) = (P(x))^2 - 1.} Udowodnić że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość \formula{P(x) = x.}
\sol{Zachodzi $|P(x)| = |P(-x)|$, zatem współczynniki wielomianu $P$ przy parzystych potęgach $x$ są równe zero. Ponadto w wielomianie $P(x^2-1)$ współczynniki przy nieparzystych potęgach $x$ są równe $0$. Wobec tego --- indukcyjnie --- współczynniki przy kolejnych nieparzystych potęgach $x$, od trzeciej począwszy, muszą być równe zero.}

\item \otag{52OM}
Niech $n-3$ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że dowolny wielomian postaci \formula{x^n + a_{n-3} x^{n-3} + a_{n-4} x^{n-4} + a_{n-5} x^{n-5} + ... + a_1 x + a_0,} gdzie co najmniej jeden ze współczynników rzeczywistych $a_0, a_1, ..., a_{n-3}$ jest różny od zera, ma mniej niż $n$ pierwiastków rzeczywistych.
\sol{Gdyby wielomian ów miał $n$ pierwiastków $(-x_j)$, to suma $x_j$ i suma iloczynów $x_i x_j$ ($i \ne j$) byłyby obie równe zero, a stąd również suma kwadratów $x_j$ byłaby równa zero.}

\item \otag{54OM}
Znaleźć wszystkie wielomiany $W$ o współczynnikach rzeczywistych, mające następującą własność: jeśli $x+y$ jest liczbą wymierną, to $W(x)+W(y)$ jest liczbą wymierną.
\sol{Wielomian $W(q + x) + W(q - x)$ przyjmuje tylko wartości wymierne, więc jest stały. Wobec tego $W(q + x)$ ma niezerowe współczynniki tylko przy nieparzystych potęgach, pomijając wyraz wolny. Gdyby był stopnia większego niż $1$, to otrzymalibyśmy sprzeczność, biorąc dwie różne wartości $q$. Zatem $W(x) = (W(1) - W(0)) x + W(0)$.}

\item \otag{55OM}
Niech $c$ będzie taką liczbą rzeczywistą, że wielomian $P(x)=x^5-5x^3+4x-c$ ma pięć różnych pierwiastków rzeczywistych $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$. Wyznaczyć, w zależności od $c$, sumę wartości bezwzględnych współczynników wielomianu \formula{Q(x) = (x-x^2_1)(x-x^2_2)(x-x^2_3)(x-x^2_4)(x-x^2_5).}
\sol{$Q(x) = P(x) P(-x)$.}

\item \otag{59OM}
Wyznaczyć wszystkie takie wielomiany $W(x)$ o współczynnikach rzeczywistych, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniona jest równość \formula{W(x^2) \cdot W(x^3) & = (W(x))^5.}
\sol{Jeśli $W(x)$ jest wielomianem stopnia $n$, to po pierwsze współczynnik przy $x^n$ musi być równy $1$, a po drugie --- indukcyjnie, począwszy od $n-1$ w dół --- wszystkie pozostałe współczynniki muszą się zerować. Stąd $W(x) = x^n$. Należy jeszcze dodać wielomian stale równy $0$.}
\end{enumerate}

\noindent{\bf Pierwiastki, wielomiany przechodzące przez dane punkty}
\begin{enumerate}
\item \otag{48OM}
Wielomian $P(x)$ stopnia $n$ spełnia warunek
\formula{P(k) & = \frac{1}{k} & \text{dla} && k & = 1, 2, 4, 8, ..., 2^n.}
Obliczyć $P(0)$.
\sol{Wielomian $1 - x P(x)$ ma pierwiastki w punktach $1, 2, 4, 8, ..., 2^n$ i wartość $1$ w punkcie $0$. Stąd \formula{1 - x P(x) & = \frac{(1-x) (2-x) (4-x) (8-x) ... (2^n-x)}{1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot ... \cdot 2^n \, .}} Współczynnik przy $x$ po prawej stronie to liczba przeciwna do \formula{\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2^n} & = 2 - \frac{1}{2^n} \, ,} i taka jest wobec tego wartość $P(0)$.}

\item \otag{48OM}
Dana jest liczba naturalna $m \ge 1$ oraz wielomian $P(x)$ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych mający co najmniej trzy różne pierwiastki całkowite. Dowieść, że wielomian $P(x) + 5^m$ ma co najwyżej jeden pierwiastek całkowity.
\sol{Niech $P(x) = -(x-k_1) (x-k_2) (x-k_3) Q(x)$. Aby $P(x) = -5^m$, liczby $\abs{x - k_j}$ muszą być potęgami $5$. Gdyby istniała druga taka liczba $y$, to $\abs{x - y}$ dałoby się przedstawić jako suma $5^a + 5^b$ lub różnica $\abs{5^a - 5^b}$ na trzy sposoby, a to jest niemożliwe, bowiem jeśli $5^a + 5^b = 5^A + 5^B$, to $\set{a, b} = \set{A, B}$ i podobnie dla różnicy, i wreszcie $5^a + 5^b \ne 5^A - 5^B$.}

\item \otag{57OM}
Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $a, b$, dla których istnieje taki wielomian $P(x)$ o współczynnikach całkowitych, że iloczyn $(x^2+ax+b) \cdot P(x)$ jest wielomianem postaci $x^n+c_{n-1}x^{n-1}+...+c_1x+c_0$, gdzie każda z liczb $c_0, c_1, ..., c_{n-1}$ jest równa $1$ lub $-1$.
\sol{Musi być $b = -1$ lub $b = 1$. Iloczyn nie ma pierwiastków o wartości bezwzględnej większej lub równej $2$, bowiem \formula{\abs{x^n+c_{n-1}x^{n-1}+...+c_1x+c_0} & \ge |x|^n-|x|^{n-1}-...-|x|-1.} Wobec tego $x^2 + a x + b$ też nie ma takich pierwiastków, czyli $4 + 2a + b > 0$ oraz $4 - 2a + b > 0$. Zostaje osiem par do sprawdzenia, każda spełnia warunki zadania.}
\end{enumerate}

\noindent{\bf Dzielenie z resztą}
\begin{enumerate}
\item \otag{47OM}
Wielomian o współczynnikach całkowitych daje przy dzieleniu przez wielomian $x^2 - 12x + 11$ resztę $990 x - 889$. Wykazać, że wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych.
\sol{Niech $k$ będzie pierwiastkiem całkowitym tego wielomianu. Wielomian można zapisać w postaci $(x-1) ((x-11) P(x) + 990) + 101$, skąd $(k-1) | 101$, czyli $k \in \set{-100, 0, 2, 102}$. Można go również przedstawić w postaci $(x-11) ((x-1) P(x) + 990) + 10001$, skąd z kolei $(k-11) | 10001$. Ale żadna z liczb $-111$, $-11$, $-9$, $91$ nie jest dzielnikiem $10001$. Zatem szukane $k$ nie istnieje.}

\item \otag{47OM}
Wyznaczyć wszystkie pary $(n, r)$, gdzie $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, $r$ zaś liczbą rzeczywistą, dla których wielomian $(x + 1)^n - r$ jest podzielny przez wielomian $2 x^2 + 2 x + 1$.
\sol{Reszta z dzielenia wielomianu $(x + 1)^n$ przez $2 x^2 + 2 x + 1$ --- oznaczmy ją przez $a_n x + b_n$ -- spełnia $a_0 = 0$, $b_0 = 1$, $a_{n+1} = b_n$, $b_{n+1} = b_n - \frac{1}{2} a_n$. Łatwo zauważyć, że $a_n = 0$ tylko dla parzystych $n$, i wtedy $b_n = (-\frac{1}{2})^{n/2}$. Zatem szukane pary to $(n, (-\frac{1}{2})^{n/2})$, gdzie $n$ jest dowolną parzystą liczbą dodatnią.}
\end{enumerate}

\noindent{\bf Zadania z serii $k - l | P(k) - P(l)$}
\begin{enumerate}
\item \otag{46OM}
Wielomian $P(x)$ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli liczba $P(5)$ dzieli się przez $2$, a liczba $P(2)$ dzieli się przez $5$, to liczba $P(7)$ dzieli się przez $10$.
\sol{$5 | P(7) - P(2)$ oraz $2 | P(7) - P(5)$.}

\item \otag{49OM}
Niech $g(k)$ będzie największym dzielnikiem pierwszym liczby całkowitej $k$, gdy $|k| > 2$, oraz niech $g(-1) = g(0) = g(1) = 1$. Rozstrzygnąć, czy istnieje taki wielomian $W$ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych, dla którego zbiór liczb postaci $g(W(x))$ ($x$ --- całkowite) jest skończony.
\sol{Jeśli $W(0) = 0$, to $x | W(x)$. Jeśli $W(0) \ne 0$, to dla każdego $k$ zachodzi $W(k W(0)) = W(0) (1 + j k)$ dla pewnego $j$. Załóżmy, że zbiór liczb postaci $g(W(x))$ jest skończony, a więc jest skończenie wiele różnych liczb pierwszych $p_1, p_2, ..., p_n$ będących dzielnikami liczb $W(x)$. Wobec tego \formula{W(k p_1 p_2 ... p_n W(0)) & = W(0) (1 + j k p_1 p_2 ... p_n),} gdzie $j$ zależy od $k$. Ponieważ liczby $W(x)$ nie mają innych czynników pierwszych niż $p_1, p_2, ..., p_n$, otrzymujemy $j = 0$. Wobec tego wartość $W(0)$ jest przyjmowana przez $W$ nieskończenie wiele razy, czyli $W$ jest stały wbrew założeniu. Zatem rozważany zbiór jest zawsze skończony.}

\item \otag{54OM}
Wyznaczyć wszystkie wielomiany $W$ o współczynnikach całkowitych, spełniające następujący warunek: dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $2^n-1$ jest podzielna przez $W(n)$.
\sol{Dla dowolnych $n, k$ zachodzi $k | W(n+k) - W(n)$. Gdy $k$ jest dzielnikiem $W(n)$, to otrzymujemy $k | W(n+k)$, czyli $k | 2^{n+k} - 2^n$. Gdy $k$ jest nieparzyste, to wynika stąd, że $k | 2^k - 1$. Stąd zaś wynika, że $k$ nie jest liczbą pierwszą. Oznacza to, że żadna liczba pierwsza nie dzieli $W(n)$, skąd $W(x) = 1$ lub $W(x) = -1$.}

\item \otag{55OM}
Dane są wielomiany $W_1(x),W_2(x),W_3(x),...,W_n(x)$ stopnia co najmniej $1$, o współczynnikach całkowitych. Wykazać, że dla pewnej liczby całkowitej $a$ wszystkie liczby $W_1(a)$, $W_2(a)$, $W_3(a)$, ..., $W_n(a)$ są złożone.
\sol{Niech $b$ będzie taka, że wszystkie liczby $W_j(b)$ są różne od $1$, $0$ i $1$. Niech $c$ będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb. Wtedy $W_j(b) | W_j(b + k c)$ dla dowolnego $k$. Wystarczy wziąć $a = b + k c$ dla $k$ tak dużego, by wszystkie $W_j(a)$ były różne od $W_j(b)$, $0$ oraz $-W_j(b)$.}
\end{enumerate}

\noindent{\bf Zadania rozmaite}
\begin{enumerate}
\item \otag{47OM}
Rozstrzygnąć, czy każdy wielomian o współczynnikach całkowitych jest sumą trzecich potęg wielomianów o współczynnikach całkowitych.
\sol{Nie: każda trzecia potęga wielomianu zmiennej $x$ o współczynnikach całkowitych ma współczynnik przy $x$ podzielny przez $3$ i własność tę będzie miała w takim razie suma dowolnie wielu trzecich potęg.}

\item \otag{51OM}
Wielomian $w(x)$ stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla liczb całkowitych $x$ wartości będące kwadratami liczb całkowitych. Dowieść, że wielomian $w(x)$ jest kwadratem pewnego wielomianu.
\sol{Niech $w(x) = a x^2 + b x + c$, $k_n = \sqrt{w(n)}$. Wówczas \formula{\sqrt{a} = \lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{w(n+1)} - \sqrt{w(n)})} jest liczbą całkowitą, czyli $a = p^2$, i ponadto $w(n) = (p n + q)^2$ dla pewnego $q$ dla wszystkich dostatecznie dużych $n$. Wobec tego $w(n) = (p n + q)^2$ dla wszystkich $n$.}

\item \otag{53OM}
Dowieść, że wykres wielomianu $W(x)$ stopnia większego od $1$ ma oś symetrii wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie wielomiany $F(x)$ i
$G(x)$, że $W(x) = F(G(x))$, przy czym $G(x)$ jest stopnia $2$.
\sol{Gdyby oś była niepionowa i miała równanie $y = a x + b$, to $W(x) - a x + c$ musiałoby mieć nieparzyście wiele rozwiązań dla każdego $c$, a więc $W$ musiałby mieć stopień nieparzysty, i podobnie $W(x) + \frac{1}{a} x + c$ musiałoby mieć parzyście wiele rozwiązań dla każdego $c$ (prawie --- poza skończoną liczbą wartości $c$), czyli $W$ musiałby mieć parzysty stopień. Sprzeczność. Wobec tego prosta jest pionowa i bez straty ogólności możemy założyć, że $W$ jest parzysty, czyli $W(x) = F(x^2)$ dla pewnego wielomianu $F$.}

\item \otag{54OM}
Dany jest wielomian $W(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x$. Wyznaczyć wszystkie pary różnych liczb całkowitych $a, b$ spełniajacych równanie $W(a)=W(b)$.
\sol{Zachodzi $P(x) = W(x+1) = x^4 + x^3 + 2x^2 - 4x - 6$. Stąd $P(n) - P(-n) = 2n^3 - 8n = 2n(n^2 - 4) > 0$ dla $n \ge 3$ oraz $P(-n) - P(n-1) = 2n^3 - 3n^2 + 13n - 6 > 0$ gdy $n \ge 2$. Pozostaje kilka wartości do sprawdzenia.}

\item \otag{55OM}
Niech $W$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, przyjmującym dla pewnych dwóch różnych liczb całkowitych wartości względnie pierwsze. Dowieść, że istnieje nieskończony zbiór liczb całkowitych, dla których wielomian $W$ przyjmuje wartości parami względnie pierwsze.
\sol{Jeśli mamy już $n \ge 2$ takich liczb $x_1, x_2, ..., x_n$, to wystarcza, że kolejna spełnia np. $W(x_{n+1}) \equiv W(x_2) \pmod{W(x_1)}$ oraz $W(x_{n+1}) \equiv W(x_1) \pmod{x_k}$ dla $k = 2, 3, ..., n$. Do tego wystarcza, aby $x_{n+1} \equiv x_2 \pmod{W(x_1)}$ oraz $x_{n+1} \equiv x_1 \pmod{W(x_k)}$ dla $k = 2, 3, ..., n$. Takie $x_{n+1}$ (do tego różne od $x_1, x_2, ..., x_n$) istnieje na mocy chińskiego twierdzenia o resztach.}

\item \otag{56OM}
Dany jest wielomian $W(x) = x^2+ax+b$, o współczynnikach całkowitych, spełniający warunek: \emph{Dla każdej liczby pierwszej $p$ istnieje taka liczba całkowita $k$, że liczby $W(k)$ oraz $W(k+1)$ są podzielne przez $p$}. Dowieść, że istnieje liczba całkowita $m$, dla której
$W(m)=W(m+1)=0$.
\sol{Jeśli $p | W(x)$ i $p | W(x+1)$, to $p | 2x + a + 1$, czyli $x = \frac{k p - a - 1}{2}$. Zachodzi $p | 4 W(x)$, zatem $(a+1)^2 - 2a(a+1) + 4b$. Otrzymujemy $4b = a^2 - 1$, skąd $a = 2n+1$, $b = n(n+1)$, $W(x) = x^2 + (2n+1)x + n(n+1) = (x+n)(x+n+1)$.}

\item \otag{58OM}
Wielomian $W$ o współczynnikach rzeczywistych przyjmuje w przedziale $\left< a; b \right>$ (gdzie $a<b$) tylko wartości dodatnie. Udowodnić, że istnieją takie wielomiany $P$ oraz $Q_1,Q_2,...,Q_m$, że \formula{W(x) = (P(x))^2 + (x-a)(b-x) \sum_{i = 1}^m (Q_i(x))^2} dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
\sol{Indukcja względem stopnia $W$. Gdy $W(x) = c$ to $W(x) = (\sqrt{c})^2 + 0 (x-a)(b-x)$. Załóżmy, że $W$ ma stopień $n > 0$. Niech $c$ będzie największą taką liczbą, że $W(x) - c(x-a)(b-x)$ jest nieujemne w $\left<a; b\right>$. Wówczas $W(x) - c(x-a)(a-b) = (x-x_1)^2 ... (x-x_k)^2 V(x)$ dla pewnego wielomianu $V$ stopnia niższego niż stopień $W$ i spełniającego warunki zadania. Pozostaje skorzystać z założenia indukcyjnego.}

\item \otag{58OM}
Wielomian $P(x)$ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli wielomiany $P(x)$ oraz $P(P(P(x)))$ mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to mają także wspólny pierwiastek całkowity.
\sol{Niech $x$ będzie owym wspólnym pierwiastkiem. Wówczas $P(0)$ jest całkowite, $P(P(0)) = P(P(P(x))) = 0$ i $P(P(P(P(0)))) = P(P(0)) = 0$.}
\end{enumerate}

%
%                            ---------- o ----------
%

\end{document}
