Odtwarzanie wzoru funkcji z wykresu

Nie wystarczy patrzeć jak ktoś rysuje wykresy, żeby się tego nauczyć. Radzę spróbować zmierzyć się z zadaniami. Wyniki można porównać z Wolframem Alpha. Uwaga, jeśli opcja real-valued plot jest widoczna to należy w nią kliknąć.

Wolfram alpha wyznaczy też Państwu dziedzinę (domain).

Proszę nie znajdować po prostu rozwiązań - to jest strata czasu. Żeby to miało sens muszą Państwo usiąść, spróbować, porównać z wynikiem. Jeśli jest zły to zrozumieć co było nie tak. Może warto sprawdzić też kroki pośrednie. Zawsze można też przyjść na konsultacje.

Uwaga 2 - arctg

arctg jest funkcją odwrotną do funkcji tg. Ogólnie funkcje odwrotne do funkcji tygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Przez to, że arctg jest funkcję odwrotną tg rozumiemy, że \[arctg(tg(x))=x \text{, gdzie } x \in (-pi/2, pi/2)\] \[tg(arctg(x))=x \text{, gdzie } x \in \mathbb{R}\]

Pierwsza równość wynika z tego, że tg jest funkcją okresową.

Zachęcam do zapoznania się z funkcjami arc cos i arc sin.

Zadanie III

Usystematyzujemy rozwiązanie z dzisiejszych zajęć na innym przykładzie.

Rozważmy podpunkt 6. Podstawowy wykres to znajoma funkcja \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\). Chcemy ją jednak ,,powielić’’ trzy razy. Jak to zrobić? Zamiast x w powyższym wzorze chcemy mieć pewną funkcję od y - g(y). Jak to g znaleźć? Na poprzednich ćwiczeniach rozważaliśmy log(|x|). W porównaniu z log(x) zwiększyła nam się znacznie dziedzina!

To wskazówka i pokazanie, że nie jest to takie trudne. Zastanówmy się jakie chcemy mieć wartości funkcji, na którą nałożymy f(x)..

Np. dla argumentu -3, chcemy dostać taką wartość g(-3), że f(g(3)) będzie równe 0. Czyli \(\sqrt(1-g(-3)^2)=0\) więc \[g(-3)=1 \text{ lub } g(-3)=-1\]. Podobna analiza daje nam, że g(-2)=0. Dalej analogicznie,

y	g(y)
-3	1, -1
-2	0
-1	1,-1
0	0
1	1,-1
2	0
3	1,-1

Teraz trzeba by wybrać coś co łatwo będzie przedstawić za pomocą wartości bezwzględnej. Np.

Temu trzeba się chwilę przypatrzeć aby zauważyć, że wykres ten powstał przez wzięcie wartości bezwzględnej, potem przesunięcia wykresu w dół. Trzeci krok to wzięcie po raz kolejny wartości bezwzględnej (w ten sposób dostajemy charakterystyczną ,,górkę“). Ostatni krok to obniżenie wykresu o -1.

\[g(y) = ||x|-1|-1\]

Zawsze dobrze jest wykonać sprawdzenie…