Piotr Sobczyk
PWr
Losujemy jedną rodzinę z całej Polski. Wartości zmiennej losowej X odpowiadają liczbie dzieci w tej rodzinie. Jakie są możliwe rezultaty? Jak policzyć prawdopodobieństwo wystąpienia rodziny z trójką dzieci?
Zatwierdź i porównaj WyczyśćJaka jest wartość oczekiwana zmiennej losowej Y, mierzącej liczbę kręgów w ogonie w populacji ryb z gatunku, Cottus rotheus, jeśli jej rozkład jest następujący.
Liczba kręgów | Procent ryb |
---|---|
20 | 3 |
21 | 51 |
22 | 40 |
23 | 6 |
Łącznie | 100 |
Korzystamy ze wzoru:
E(Y) = 20 * P(Y=20) + 21 * P(Y=21) + 22 * P(Y=22) + 23 * P(Y=23) = 20 * 0.03 + 21 * 0.51 + 22 * 0.40 + 23 * 0.06 = 21.49.
Jakie jest odchylenie standardowe zmiennej losowej Y, mierzącej liczbę kręgów w ogonie w populacji ryb z gatunku, Cottus rotheus, jeśli jej rozkład jest następujący.
Liczba kręgów | Procent ryb |
---|---|
20 | 3 |
21 | 51 |
22 | 40 |
23 | 6 |
Łącznie | 100 |
Należy skorzystać ze wzoru na wariancję.
\[Var(Y) = (20-21.49)^2 * P(Y=20) + (21-21.49)^2 * P(Y=21) +\] \[(22-21.49)^2 P(Y=22) + (23-21.49)^2 P(Y=23) \sim 0.4299\]
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji.
Załóżmy, że czas oczekiwania, liczony w minutach, na przyjazd autobusu ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 15].(podaj trzy cyfry znaczące)
Skorzystaj z definicji.
Czas oczekiwania (w minutach) na zgłoszenie konsultanta w call center ma rozkład wykładniczy w parametrem \(\lambda=\frac{1}{5}\)
Skorzystaj z definicji. Przedstaw prawdopodobieństwa w postaci całek np. \(P(X>10) = \int_{10}^{\infty} f(x) dx\)
E(aX+b)=
- a E(X) +b
Var(aX+b) =
- \(a^2\) Var(X)
E(X+Y)=
- EX+EY
Jeżeli zmienne losowe X,Y są niezależne, to \[P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A) P(X \in B)\] dla dowolnych zbiorów A i B.
Przykład 1
X - Kto wygra nagrodę Nobla z fizyki, A - osoby o nazwisku na literę A
Y - Kto wygra program Top Model, B - osoby o nazwisku na literę B
Przykład 2
Wybieramy (losowo) liczbę dwucyfrową
X:=liczba dziesiątek, Y:=liczba jedności,
\(A=\{1, 2\}\), \(B=\{3, 4, 5\}\).
Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to \[E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)\] oraz \[Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)\] Jeśli \(Var(X)=3\) i \(Var(Y)=2\), to
X-Y = X + (-Y). Jak wariancja zmienia się po dodaniu stałej?
Anita, Beata i Celina rzucają symetryczną monetą. Uzyskaną przez nie łączną liczbę orłów oznaczamy zmienną losową Y.
Anita, Beata i Celina rzucają symetryczną monetą. Uzyskaną przez nie łączną liczbę orłów oznaczamy zmienną losową Y.
Y = łączna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego
Wzór na rozkład dwumianowy \[P(Y=k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\] \[{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}\]
Możliwe wyniki to k=1,2,3,...n
\[\mu_Y = E(Y) = n \cdot p\] \[Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\]
Rozważamy trzy rzuty symetryczną monetą i zliczamy liczbę zaobserowanych orłów.
Skorzystaj ze wzoru na rozkład dwumianowy. Pamiętaj, że \(p=\frac{1}{2}\).
Jeden na ośmiu dorosłych mężczyzn ma podniesiony poziom cholesterolu. Losowo wybieramy 10 mężczyzn z populacji.
Skorzystaj ze wzoru na rozkład dwumianowy. Pamiętaj, że \(P(X \leq x) = \sum_{t=0}^x P(X=t)\).