Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

Wykład 3 zmienne losowe

Piotr Sobczyk
PWr

Kilka uwag

  • Prezentacja na podstawie slajdów prof. Bogdan
  • Moja strona: im.pwr.edu.pl/~sobczyk
  • W dalszej części jest wiele quizów do samodzielnego wykonania

Powtórzenie z poprzedniego wykładu - zmienna losowa

  • Wartość zależna od wyniku eksperymentu
  • Zmienna przyjmująca wartości numeryczne, zależna od wyniku zdarzenia losowego
  • Funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby (wiki)

Powtórzenie z poprzedniego wykładu - zmienna losowa dyskretna

Losujemy jedną rodzinę z całej Polski. Wartości zmiennej losowej X odpowiadają liczbie dzieci w tej rodzinie. Jakie są możliwe rezultaty? Jak policzyć prawdopodobieństwo wystąpienia rodziny z trójką dzieci?

Zatwierdź i porównaj Wyczyść

Powtórzenie z poprzedniego wykładu - zmienna losowa ciągła

  • Losowanie człowieka z pewnej populacji (zdarzenie losowe)
  • Wartości zmiennej losowej X odpowiadają wzrostowi wylosowanej osoby.
  • W tym wypadku rozkład dany jest przez dystrybuantę np. \[P(X \leq 1.80) = 0.73\]

Co dzisiaj zrobimy?

  • Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładów dyskretnych
  • Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładów ciągłych
  • Niezależność zmiennych losowych
  • Rozkład dwumianowy

Definicja wartości oczekiwanej

  • Mamy zmienną losową X o wartościach w zbiorze \(\{x_1, x_2, ... \}\)
  • \[\mu_{x} = E(X) = \sum_{i=1} x_i P(X= p_i) = \sum_{i=1} x_i p_i\]
  • \[Var(X) = \sum_{i=1} (x_i-\mu_x)^2 P(X=x_i) = \sum_{i=1} x_i^2 p_i - \mu_x^2\]
  • P-d. Rzut monetą, X=1, gdy orzeł, X=0, gdy reszka. E(X) = ? , Var(X) = ?

Przykład - rybie kręgi

Jaka jest wartość oczekiwana zmiennej losowej Y, mierzącej liczbę kręgów w ogonie w populacji ryb z gatunku, Cottus rotheus, jeśli jej rozkład jest następujący.

Liczba kręgów Procent ryb
20 3
21 51
22 40
23 6
Łącznie 100
  1. 21.49
  2. 21.00
  3. 21.32

Korzystamy ze wzoru:

E(Y) = 20 * P(Y=20) + 21 * P(Y=21) + 22 * P(Y=22) + 23 * P(Y=23) = 20 * 0.03 + 21 * 0.51 + 22 * 0.40 + 23 * 0.06 = 21.49.

Przykład - rybie kręgi

Jakie jest odchylenie standardowe zmiennej losowej Y, mierzącej liczbę kręgów w ogonie w populacji ryb z gatunku, Cottus rotheus, jeśli jej rozkład jest następujący.

Liczba kręgów Procent ryb
20 3
21 51
22 40
23 6
Łącznie 100
  1. 0.4299
  2. 0.6557
  3. 0.49

Należy skorzystać ze wzoru na wariancję.

\[Var(Y) = (20-21.49)^2 * P(Y=20) + (21-21.49)^2 * P(Y=21) +\] \[(22-21.49)^2 P(Y=22) + (23-21.49)^2 P(Y=23) \sim 0.4299\]

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji.

Przykład - rozkład jednostajny

Załóżmy, że czas oczekiwania, liczony w minutach, na przyjazd autobusu ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 15].(podaj trzy cyfry znaczące)

  1. Ile wynosi wartość oczekiwana?
  2. Ile wynosi odchylenie standardowe?
  1. 7.5
  2. 4.33

Skorzystaj z definicji.

Przykład - rozkład wykładniczy

Czas oczekiwania (w minutach) na zgłoszenie konsultanta w call center ma rozkład wykładniczy w parametrem \(\lambda=\frac{1}{5}\)

  1. Ile wynosi oczekiwany czas na zgłoszenie się konsultanta?
  2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziemy czekać krócej niż minutę?
  3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziemy czekać dłużej niż 10 minut?
  1. 5
  2. 0.1812692
  3. 0.1353353

Skorzystaj z definicji. Przedstaw prawdopodobieństwa w postaci całek np. \(P(X>10) = \int_{10}^{\infty} f(x) dx\)

Własności wartości oczekiwanej i wariancji

E(aX+b)=

  • a E(X) +b

Var(aX+b) =

  • \(a^2\) Var(X)

E(X+Y)=

  • EX+EY

Niezależność zmiennych losowych

Jeżeli zmienne losowe X,Y są niezależne, to \[P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A) P(X \in B)\] dla dowolnych zbiorów A i B.

Przykład 1

X - Kto wygra nagrodę Nobla z fizyki, A - osoby o nazwisku na literę A

Y - Kto wygra program Top Model, B - osoby o nazwisku na literę B

Przykład 2

Wybieramy (losowo) liczbę dwucyfrową

X:=liczba dziesiątek, Y:=liczba jedności,

\(A=\{1, 2\}\), \(B=\{3, 4, 5\}\).

Niezależne zmienne losowe

Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to \[E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)\] oraz \[Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)\] Jeśli \(Var(X)=3\) i \(Var(Y)=2\), to

  1. Var(X-Y+2) =
  2. Var(X+X) =
  1. 5
  2. 12

X-Y = X + (-Y). Jak wariancja zmienia się po dodaniu stałej?

Schemat Bernoulliego

Anita, Beata i Celina rzucają symetryczną monetą. Uzyskaną przez nie łączną liczbę orłów oznaczamy zmienną losową Y.

plot of chunk unnamed-chunk-1

plot of chunk unnamed-chunk-2

Schemat Bernoulliego

Anita, Beata i Celina rzucają symetryczną monetą. Uzyskaną przez nie łączną liczbę orłów oznaczamy zmienną losową Y.

plot of chunk unnamed-chunk-3

plot of chunk unnamed-chunk-4

Schemat Bernoulliego:

  • n niezależnych powtórzeń tego samego eksperymentu
  • dwa możliwe wyniki w każdej próbie - ,,sukces" i ,,porażka" (np.O i R, albo 1 i 0)
  • w każdej próbie p-stwo sukcesu wynosi p

Rozkład dwumianowy:

Y = łączna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego

Rozkład dwumianowy

Wzór na rozkład dwumianowy \[P(Y=k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}\] \[{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}\]

Możliwe wyniki to k=1,2,3,...n

\[\mu_Y = E(Y) = n \cdot p\] \[Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\]

Przykład - kontynuacja

Rozważamy trzy rzuty symetryczną monetą i zliczamy liczbę zaobserowanych orłów.

  1. \(P(Y=0)=\)
  2. \(P(Y=1)=\)
  3. \(P(Y=2)=\)
  4. \(P(Y=3)=\)
  1. 0.125
  2. 0.375
  3. 0.375
  4. 0.125

Skorzystaj ze wzoru na rozkład dwumianowy. Pamiętaj, że \(p=\frac{1}{2}\).

Przykład - kontynuacja

Jeden na ośmiu dorosłych mężczyzn ma podniesiony poziom cholesterolu. Losowo wybieramy 10 mężczyzn z populacji.

  1. Jakie jest p-stwo, że (dokładnie) 2 spośród nich ma podniesiony poziom cholesterolu ?
  2. Jakie jest p-stwo, że co najmniej jeden z nich ma podniesiony poziom cholesterolu?
  3. Ilu, średnio, mężczyzn na dziesięciu ma podwyższony poziom cholesterolu?
  1. 0.2416
  2. 0.3611022
  3. 1.25

Skorzystaj ze wzoru na rozkład dwumianowy. Pamiętaj, że \(P(X \leq x) = \sum_{t=0}^x P(X=t)\).