Marcin Michalski

Szczegółowe zasady zaliczenia są w [tym pliku]. [Tutaj] znajduje się karta kursu.

Egzamin odbędzie się 03.02.2023 o 8:00 w 2 salach i będzie trwał 90 minut. W sali 1.27 bud. C13 egzamin mają grupy prof. Jacka Serafina i prof. Michała Ryznara, a w sali 310 bud. C2 grupy dra Adama Marczaka i prof. Roberta Rałowskiego. Na egzamin proszę przynieść coś do pisania i przynajmniej 6 kartek papieru formatu A4 oraz mieć przy sobie legitymację studencką. Podczas egzaminu nie jest dozwolone używać żadnych notatek, kart wzorów, itp. ani urządzeń elektronicznych.
Studenci, którzy otrzymają ocenę 5.0 z egzaminu, mogą przyjść do mnie w czasie konsultacji w sesji i powalczyć o 5.5.
Egzamin poprawkowy odbędzie się 10.02.2023 o 8:00 w sali 1.27 bud. C13. Podobnie, jak na termin podstawowy, proszę przynieść coś do pisania i przynajmniej 6 kartek papieru formatu A4 oraz mieć przy sobie legitymację studencką.
Studentów, którzy zaliczyli ćwiczenia na 4.0 lub więcej zachęcam do wzięcia udziału w egzaminie na ocenę celującą. W tym celu należy zgłosić się do dra Włodzimierza Bąka (szczegóły w linku).

Lista 1, niestety przed pierwszym wykładem. W związku z tym, [tutaj] jest notatka o logice, zbiorach i zasadzie indukcji, by pomóc ogarnąć ćwiczenia.

Lista 2 - funkcje, funkcja odwrotna, składanie funkcji

Lista 3 - funkcja wykładnicza i logarytm

Lista 4 - funkcje trygonometryczne i cyklometryczne

Lista 5 - ciągi

Lista 6 - granice funkcji, granice jednostronne, asymptoty

Lista 7 - ciągłość funkcji

Lista 8 - pochodne, twierdzenia o wartości średniej, reguła de l'Hospitala

Lista 9 - ekstrema funkcji, badanie przebiegu zmienności funkcji, wzór Taylora

Z całek będziemy polegać na listach opracowanych przez M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Preferowana kolejność, to 11, 14, 12, 13.

• Podstawowa
1. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy.
2. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II.
3. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach.
• Pomocnicza
1. K. Kuratowski, Rachunek Różniczkowy i Całkowy. Funkcje Jednej Zmiennej.
2. Jacek Cichoń, Wykłady ze Wstępu do Matematyki. (Dostępne online)
3. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 1. Przykłady i Zadania.

1. Elementy logiki i teorii mnogości
   • Język klasycznego rachunku zdań (KRZ).
   • Formuły KRZ.
   • Wartościowania.
   • Twierdzenie: Każde wartościowanie rozszerza się jednoznacznie na wszystkie formuły KRZ.
   • Tautologie, tabelki 0-1, dowody wprost, dowody nie wprost.
   • Zbiory i relacja \(\in\).
   • Zbiór pusty \(\emptyset\), singleton \(\{x\}\), para nieuporządkowania \(\{x,y\}\), para uporządkowana \((x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\).
   • Funkcja zdaniowa (predykat). Aksjomat wycinana: Dla każdego zbioru \(A\) i formuły \(\varphi\) istnieje zbiór \(\{x\in A: \varphi(x)\}\) tych elementów \(A\), które spełniają formułę \(\varphi\).
   • Zbiory liczb naturalnych \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\), całkowitych \(\mathbb{Z}=\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}\), wymiernych \(\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}: p\in\mathbb{Z}\;\land\;q\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\}\), rzeczywistych \(\mathbb{R}\) (o nim jeszcze coś sobie opowiemy).
   • Kwantyfikatory: Uniwersalne "dla każdego" \((\forall x)(\varphi(x))\); Egzystencjalny "istnieje" \((\exists x)(\varphi(x))\).
   • Operacja na zbiorach: suma \(\cup\), przekrój \(\cap\), różnica \(\setminus\), dopełnienie \(^c\).
   • Relacja zawierania \(\subseteq\).
   • Zasada indukcji matematycznej.
2. Funkcje
   • Iloczyn kartezjański i operacja \(^{-1}\).
   • Definicja funkcji, dziedziny, przeciwdziedziny.
   • Iniekcja, surjekcja, bijekcja.
   • Funkcja odwrotna.
   • Twierdzenie: Funkcja jest odwracalna wtedy, i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
   • Składanie funkcji.
   • \(f\circ f^{-1}=id_Y\), \(f^{-1}\circ f=id_X\) dla bijekcji \(f:X\to Y\).
   • Wyznaczanie wzoru funkcji odwrotnej: jeśli \(f(x)=y\), to \(x=f^{-1}(y)\).
   • Manipulacje wykresem funkcji rzeczywistej.
   • Definicja funkcji wykładniczej.
   • Logarytm jako funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej.
   • Własności funkcji wykładniczej i logarytmu.
   • Funkcja potęgowa i jej wykres oraz dziedzina w zależności od wykładnika.
   • Koło trygonometryczne i niektóre własności funkcji trygonometrycznych (okresowość, "1" trygonometryczna, wzory redukcyjne, wykresy, etc.).
   • Przykład zastosowania wzorów redukcyjnych: warunek prostopadłości prostych na płaszczyźnie.
   • Wzór na sinus sumy kątów.
   • Funkcje cyklometryczne jako odwrotne do funkcji trygonometrycznych (obciętych do dziedzin, na których są różnowartościowe), przykładowe tożsamości: \(\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}\), \(\arccos(x)=\arcsin(\sqrt{1-x^2})\).
3. Ciągi
   • Definicja: Ciągi jako funkcje o dziedzinie \(\mathbb{N}\).
   • Ograniczoność z dołu, z góry, w ogóle.
   • Granica ciągu. Granice niewłaściwe, rozbieżność.
   • Garść przydatnych faktów dotyczącycych modułu (nierówność trójkąta, znaczenie \(|x|<\varepsilon \)) oraz ciągów zbieżnych (ciągi zbieżne są ograniczone, jeśli \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\) i \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) jest ograniczony, to \(\lim_{n\to\infty}a_nb_n=0\)).
   • Twierdzenie o arytmetyce granic: Jeśli \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) są zbieżne odpowiednio do \(a\) i \(b\), to \(\lim_{n\to\infty}a_n\square b_n=a\square b\), gdzie \(\square\) to \(+,-,\cdot,/\) (w przypadku \(/\) trzeba założyć \(b\neq 0\) i \(b_n\neq 0\) dla prawie wszystkich naturalnych \(n\)).
   • Twierdzenie o \(3\) ciągach: Jeśli \(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=g\) i \(a_n\leq c_n\leq b_n\) dla prawie wszystkich naturalnych \(n\), to \(\lim_{n\to\infty}c_n=g\).
   • Supremum \(\sup\) i infimum \(\inf\).
   • Główna różnica między \(\mathbb{Q}\) i \(\mathbb{R}\): Aksjomat Ciągłości Dedekinda, czyli zbiór \(\mathbb{R}\) jest zamknięty na suprema swoich niepustych i ograniczonych z góry podzbiorów.
   • Twierdzenie: Ciągi niemalejące (nierosnące) i ograniczone z góry (z dołu) są zbieżne do swojego supremum (infimum).
   • Przykład: Ciąg zadany rekurencyjnie przez \(a_0=\sqrt{2}, a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\) dla \(n>0\) jest zbieżny.
   • Symbol Newtona \(\binom{n}{k}\), interpretacja kombinatoryczna.
   • Trójkąt Pascala, wzór dwumianowy Newtona: \((x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}\).
   • Przykład zastosowania: wszystkich podzbiorów zbioru \(n\) elementowego jest \(2^n\).
   • Przykład: \(\lim_{n\to\infty \sqrt{n}{n}}=1\).
   • Ciąg \((1+\frac{1}{n})^n\) jest rosnący i ograniczony, a więc zbieżny. Liczba \(e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n\).
   • Uważka: \(\lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{-n})^{-n}=e\).
4. Granice funkcji
   • Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji właściwej i niewałaściwej w punkcie i nieskończoności.
   • Równoważność definicji Cauchy'ego i Heinego.
   • Przykład: \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\). Przy okazji wyszło, że funkcje \(\sin\) i \(\cos\) są ciągłe w \(0\).
   • Granice jednostronne funkcji. Funkcja ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy ma granice jednostronne i są sobie równe.
   • Asymptoty: poziome, pionowe, ukośne. Sposób na wyznaczanie asymptot ukośnych.
5. Funkcje ciągłe
   • Definicje Cauchy'ego i Heinego ciągłości.
   • Równoważność definicji Cauchy'ego i Heinego (wynika z definicji granic).
   • Przykład: funkcja wykładnicza \(a^x\) zdfiniowana dla liczb niewymiernych jako \(\sup \{a^q: q\le x, q\in\mathbb{Q}\}\) jest ciągła.
   • Przykład: funkcje trygonometryczne są ciągłe.
   • Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
   • Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa: Ciąg ograniczony ma podciąg zbieżny.
   • Twierdzenie: Funkcja ciągła na odcinku domnkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy.
   • Twierdznie Darboux: Funkcja ciągła na odcinku domkniętym osiąga wszystkie wartości pośrednie pomiędzy swoimi kresami.
   • Przykład: Równanie \(\pi^x+x^{55}-\sin x=2\) ma rozwiązanie.
   • Twierdzenie: Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej na odcinku domkniętym jest ciągła.
   • Fakcik: Ciągła iniekcja na odcinku, półprostej lub prostej jest monotoniczna.
   • Przykład: \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\)
6. Pochodne
   • Definicje pochodnej funkcji i jej podstawowe własności.
   • Interpretacja geometryczna pochodnej jako tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu.
   • Pochodna iloczynu \((f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\), pochodna ilorazu \((\frac{f}{g})'=\frac{f'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}\).
   • Pochodna funkcji odwrotnej: \(f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}\), gdzie \(y=f(x)\).
   • Pochodna złożenia: \((g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)\).
   • Pochodne funkcji elementarnych.
   • Twierdzenia o wartości średniej. Dla \(f,g\) różniczkowalnych na \((a,b)\) i ciągłych na \([a,b]\):
     • Jeśli \(f(a)=f(b)\), to istnieje punkt \(\xi\in (a,b)\), że \(f'(\xi)=0\) (Tw. Rolle'a).
     • Istnieje punkt \(\xi\in (a,b)\), że \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\) (Tw. Lagrange'a).
     • Istnieje punkt \(\xi\in (a,b)\), że \((f(b)-f(a))g'(\xi)=f'(\xi)(g(b)-g(a))\) (Tw. Cauchy'ego).
   • Reguła de l'Hospitala: Dla granic \(\frac{f}{g}\) będących symbolem nieoznaczonym \(\frac{0}{0}\) lub \(\frac{?}{\infty}\) jeśli istnieje granica (może być niewłaściwa!) \(\frac{f'}{g'}\), to \(\frac{f}{g}\) ma tę samą granicę.
   • Przykłady zastosowania reguły de l'Hospitala do kłopotliwych granic.
   • Funkcje spełaniające założenia twierdzeń o wartości średniej o zerującej się pochodnej są stałe.
   • Funkcje różniczkowalne w sposób ciągły na odcinku domkniętym są Lipschitzowskie.
   • Wzór Taylora.
   • Ekstrema lokalne i globalne funkcji, warunki monotoniczności, wypukłość i wklęsłość oraz punkty przegięcia.
7. Całki
   • Funkcje pierwotne, całka nieoznaczona \(\int f(x)dx\) jako zbiór funkcji pierwotnych.
   • Łatwe do odgadnięcia całki wynikające ze znajomości pochodnych.
   • Liniowość całki.
   • Całkowanie przez części: \(\int f'(x)g(x)dx=fg-\int g'(x)f(x)dx\).
   • Przykłady: \(\int \ln x dx\), \(\int \arctan x dx\).
   • Całkowanie przez podstawienie: \(\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))\), gdzie \(F\) jest funkcją pierwotną do \(f\).
   • Przykłady: \(\int x\sqrt{1+x^2}dx\), \(\int \frac{1}{(ax+b)^n}dx\).
   • Rozkład funkcji wymiernej na sumę ułamków prostych. Całkowanie funkcji wymiernych.
   • Całkowanie funkcji wymiernych trygonometrycznych i całkowanie niektórych funkcji niewymiernych.
   • Całka oznaczona Riemanna. Definicja i podstawowe własności.
   • Funkcja górnej granicy całkowania, fundametalne twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego: Jeśli \(f\) jest ciągła, to funkcja \(G(x)=\int_a^xf(t)dt\) jest różniczkowalna, \(G'(x)=f(x)\) oraz \(G(x)=F(x)-F(a)\), gdzie \(F\) jest funkcją pierwotną do \(f\).
   • Całkowanie przez części i podstawienie.
   • Interpretacja geometryczna całki. Wyznaczanie pól pod wykresami, długości krzywych oraz objętości i pól powierzchni bocznych brył obrotowych.
   • Przykłady: pole koła, Róg Gabriela.